articulos destacados

Los arquitectos del apartheid discuten la formación de un bantustán

Bantustán es el término que designa cada uno de los veinte territorios que operaron como reservas tribales de habitantes no blancos en Sudáfrica y África del Sudoeste (actual Namibia), en el marco de las políticas segregacionistas impuestas durante la época del apartheid. Tanto en la República Sudafricana como en el territorio aledaño de África del Sudoeste (por entonces, bajo su ocupación y administración), se establecieron diez reservas de esta clase, destinadas a alojar y concentrar en su interior poblaciones étnicamente homogéneas.

Desde los inicios, en 1959, de la implementación legal del concepto, hasta su desmantelamiento final en 1994, algunos bantustanes recibieron independencia nominal (Transkei, Venda, Bofutatsuana y Ciskei, en Sudáfrica; Ovamboland, Kavangoland y Loziland, en África del Sudoeste); otros (como KwaZulu, Lebowa y QwaQwa), permanecieron en una condición de relativa autonomía administrativa, pero nunca fueron declarados independientes. No obstante, a ninguno de ellos le fue reconocida internacionalmente la condición de nación soberana; solo fueron admitidos en esos términos por la propia Sudáfrica y, recíprocamente, entre ellos mismos.

Edificio de la Jefatura de bomberos de Brooklyn
El edificio conocido como antigua Jefatura de bomberos de Brooklyn es un inmueble histórico situado en el barrio de Brooklyn (Nueva York). Diseñado por Frank Freeman y construido en 1892 para albergar la sede del Departamento de Bomberos de Brooklyn, sirvió de parque de bomberos hasta la década de 1970 para posteriormente ser rehabilitado para uso residencial.

Escudo de Valencia 2.svg
Valencia (en valenciano, València [vaˈlensia]) es un municipio y una ciudad de España. Es la capital (y la localidad más poblada) del municipio, de la provincia homónima y de la Comunidad Valenciana, aunque anteriormente fue también capital de la extinta comarca de la Huerta de Valencia, que en 1989 se disgregó para formar las comarcas de la Huerta Norte, Huerta Sur, Huerta Oeste y ciudad de Valencia, quedando así constituida como la única ciudad-comarca de la Comunidad Valenciana.
Gran Buda de Kamakura
Kōtoku-in (高徳院?) es un templo budista de la escuela de la Tierra Pura, localizada en la ciudad de Kamakura, en la prefectura de Kanagawa (Japón). El templo es conocido por el Gran Buda (大仏 daibutsu?), una estatua de bronce del buda Amitābha que es uno de los iconos más famosos de Japón. La estatua mide 13,35 m de alto y pesa alrededor de 93 toneladas, lo cual la convierte en el segundo buda más grande en Japón después del buda de Tōdai-ji en Nara.

Portales

 
Fallecimientos
El actor estadounidense Ralph Waite en 2012
Conmemoraciones y fiestas
  • 18 de febrero: Día Nacional de Nepal
  • 18 de febrero: Día Nacional de Gambia
  • 17 de febrero: Día Nacional de Kosovo
  • 17 de febrero: Día Nacional de Libia

Efemérides: 19 de febrero, 18 de febrero, 17 de febrero

Véase también: Categoría:Actualidad, 2014, Categoría:2014

Efemérides

La Piedad, de Miguel Ángel

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Guerras

Colt M733 comando… mundialmente famoso por seruna de las variantes en corto de la familia Colt M16. La carabina M4A1, la cualha sido adoptada recientemente por las Fuerzas Especiales de Estados Unidos, esel típico ejemplo. En cuanto a la serie M16 que fue desarrollada en la Guerradel Vietnam, junto con la pronta variante M16A1, y la consecuente M16A2(desarrollada a partir del A1), hay variaciones de modelos correspondientes depor medio. Es lógico pensar que dichos modelos se hacían en corto, con lo queeran más ligeros y de mayor manejabilidad, pero fueron usados de manera pocoformal  y sin importar la manera(casopor ejemplo de los CAR-15, desarrollados para los operarios y pilotos dehelicópteros, que no podían hacer uso de un M16 dentro de la cabina por sutamaño).  La denominación”M16″ o “M4” y demás (sobre todo por los numeros de serietan bajos) son los números indicativos los cuales indican la regulaciónespecífica indicada por el ejército norteamericano., al contrario que lasdenominaciones como “M733”, “653” y demás, con números de 3columnas que les daba la corporación Colt, dependiendo del número de producto desarrolladoporla compañía (por cierto, que los numerados 600th son los M16 y los montajes conbase M16A1, y los 700th son ya los que salieron con la base del M16A2, con locual, el M733 objeto de ésta preview, proviene de la “miniaturización” de unM16A2).

El Colt M733 comando fue adoptado afinal de la segunda mitad de los 80 cuando estaba concluyendo la Guerra Fría, ya principios de los 90, hasta que entró en servicio la archiconocida carabinaM4A1, según la regulación adoptada por una porción de las fuerzas especialesnorteamericanas. Y aquí es donde nuestra protagonista empieza a formar parte deunidades especiales americanas, como la élite de la Delta Force, cuyascaracterísticas de movimiento y ocultación los hacen una tropa especial deasalto. Son soldados jóvenes, con una hermandad especial entre tropa y mandos(la llamada hermandad Delta), donde dependen unos de otros.

3 deOctubre de 1993, Mogadiscio, capital de Somalia, pais arruinado y asolado poruna larga guerra civil. Las Naciones Unidas comoparte de una operación de paz , mandan una fuerza de pacificación. Su misión:expulsar a dos de los mejores tenientes del caudillo somalí, Mohamed FarrahAidid, como parte de la estrategia para sofocar la guerra civil y la hambrunaque estaba destrozando el país.

Las tropas americanas llegaron aSomalia con la esperanza de salvar vidas y no de arrebatarlas. Los soldadoscada vez más atrapados en la incomprensible política feudal de Somalia, en laque un clan lleva un milenio enfrentado a otro, se verán condenados a unabrutal experiencia cuando la misión, tan cuidadosamente planeada, da un giroinsospechado… resultando en la más grande y singular batalla militar americanadesde Vietnam.

Cuando comienza la misión, pareceser que todos, hombres, mujeres y niños están en contra de los americanos,tornando la ciudad en una zona de combate mortal. Y cuando dos helicópterosBlack Hawk, aparentemente invencibles, son disparados y derribados mientrasvolaban la ciudad, la misión cambia por completo y se convierte en unadesesperada carrera contra el tiempo para rescatar a la tripulación desupervivientes, y por último a los soldados en tierra. Los comandos Ranger yDelta deben luchar mano a mano teniéndolo todo en su contra. Durante 18angustiosas horas, permanecen atrapados y heridos en una de las zonas máshostiles de Mogadiscio hasta que puedan preparar un convoy de rescate que vayaa salvarlos. Superados en número, rodeados y tras la perdida de amigos estallala tensión, se forman alianzas y los soldados aprenden la verdadera naturalezade la guerra y el heroísmo.
Lo que ocurrió el 3 de octubre de 1993 puede que a la larga haya supuesto unanota más en la historia, pero para los americanos que sobrevivieron, ese viajea última hora de la tarde significó un momento determinante en sus vidas. Paralos soldados americanos que no sobrevivieron, significó sus epitafios, quemadosen las polvorientas calles de la infernal ciudad africana de la que muchos deellos ni siquiera habían oído hablar, un epitafio de valentía, compromiso ydesinterés.
Estos son los hombres que lucharon en la batalla de Mogadiscio, y Black HawkDerribado (una historia de guerra) sigue muy de cerca y paso a paso todo elconflicto en tierra, aire y la base central. Gran parte de la historia es laexperiencia a través de los ojos del Sargento Matt Eversmann, un joven eidealista del comando Ranger cuyo valor es puesto a prueba cuando de repente leponen al mando de uno de los cuatro pelotones. Hasta aquí un resumen de lapelícula para todos los Black Hawkderriberos que hay por ahí, que sé que sonmuchos, e incluso la venta de uniformes de desierto de tres colores aumentóinesperadamente el año pasado en nuestro pais (curioso,¿no creéis?), a lo quecreo que ayudó muchísimo la película de Ridley Scott y Jerry Bruckheimer.

Como podéis ver en la película, la carabina corta que llevan losDelta, es la Colt M733, que es un M16A2 en corto, con un cañón de 11.5pulgadas y cargadores de 30 cartuchos. Tiene una cadencia de tiro de 700-1000disparos por minuto, la denominación civil recibe el nombre de RO933, sobretodo para las unidades policiales. Para lo pequeño que era, hacíamuchísimo ruido, pero le permitía al soldado el poder moverse con completalibertad y mucha maniobrabilidad, al llevar un equipo muy ligero como los”Delta”.

Porcierto, que el M733 del modelo actual, ha recibido 3 actualizaciones distintasdel arma actual, desde la primera versión de 1984, hasta 1987, donde se hizo laversión de cuarta generación. Incluso con la adición de las posibilidades demodificación siendo añadidas en detalle cuando el cliente hacía el pedidodirectamente a Colt. Con los datos obtenidos en la práctica, sirven incluso encampos donde se pueda usar la carabina M4A1 la cual viene a ser la opciónposterior. Colt también vendió el M733 a los cuerpos policiales y unidadestácticas, con la denominación M933, y desarrollado com el M4A1, con el asa desmontable, y usando la municióndel 5.56 tipo  SS109, demandada por lapolicía.

 

El héroe del campo de batalla que lleva…… “un modelo de M16A2más pequeño y más ligero!”
LApelícula Black Hawk derribado, ha ayudado bastante a la salida de ésta replicaal mercado. Si 1993 nos trajo las grandes noticias del fin de la Guerra fria,la desaparicion dle muro era ya un hecho hacia unos años, el colpaso de laUnión Soviética, con un Nuevo orden mundial, la tragedia de Somalia que ocurrióal este de Africa y el consecuente incidente con las fuerzas de Naciones Unidasno se siguió con mucho interés en Japón, demasiado distante de Africa. Lapelícula nos trajo “la lucha como no se supo” desde la base de los hechos, ytodos los airsofters de Japón, que inmediatamente le pidieron a Marui lo querealmente se iba a convertir en un éxito. Desde las escenas donde se veían alos agresivas fuerzas especiales Delta combatiendo con su particular “modo devida” todo fue ir sobre ruedas solo. Debido a esas imagines en nuestrasretinas, los jugadores querían imitarles y ya querían tener en sus manos en susjornadas de juego, esa version de Colt, hecha realidad en una réplicaeléctrica. Hemos hecho realidad el sueño de muchos jugadores, al haberconstruido para todos ellos la versión corta y más ligera del M16A2en un modelocompacto que aun hoy en día es ampliamente usado! ¿No crees que éste modelo seacapaz de convertirse en tu arma ideal de airsoft para tus partidas?

 
Novedades del AEG de la serie M16A2 “Colt M733 Comando”
(1) canon exterior de 11.5 pulgadas (29.2 cm)el cual es 3pulgadas(7.62cm) más corto que las 14.5 pulgadas (36.83cm) del M4A1. Está cosntrudo en aleación de aluminio,lo que le da una gran solidez, y una muy buena ligereza de peso.

(2) La culata es de la misma serie que el XM177. En éste modelocorto del M16A2,  el asa portafusa es denuevo diseño, con la misma medida que el modelo real. Se han añadido partesnuevas, como en el ultimo modelo lanzado por Colt. En el canon, se le haañadido el tubo de recuperación de gases.

(3)Las marcas y logotipos del arma, son los mismos que llevabanen su día los integrantes de la Delta Force, con sus mismas especificaciones.

(4) La mira delantera no viene con la posibilidad de ser ajustadacomo en lso demás modelos de Colt. El mecanismo del Hop up viene como siempre,dentro de la ventana de expulsión, como en le resto de modelos de la familiaColt : M16A2, M4A1 etc.

(5) Monta el motor tipo EG1000
(6) Con la cantidad de accesorios disponibles en el mercado, las posibilidadesde multiples combinaciones son infinitas.


* El cañón exterior es de aluminio, lo que leda una gran solidez y un peso muy ligero. Nuevo diseño de la cincha para la correa portafusa.


* Las marcas y logotipos grabados, como siempre, de la máxima calidad, unido esta vez al hecho, de que son los mismos que llevaban los Deltas en sus carabinas..


* Se ha añadido el tubo de recuperación de gases en el cañón delantero, para más realidad.


* Culata extensible en 4 posiciones.

En modelo se corresponde a la carabina M933, usada por las fuerzas policiales. Se pueden apreciar en el asa portafusa los tornillos de desmontaje del mismo.

 

triviales

Cambios triviales

En marzo de 2010 CEM-bot realizó una serie de cambios triviales con el fin de recuperar de los dumps de Wikipedia páginas que se mostraban con un contenido erróneo:

Desde 2009 se presenta un problema con las copias (dumps) de Wikipedia en castellano, explicado en el bug 18694 de Mediawiki. Actualmente CEM-bot trabaja revisando artículos y enlaces afectados por ese problema, por lo que en algunos casos realiza cambios triviales, o prácticamente inútiles, en páginas y redirecciones.
Algunos ejemplos:

  • Hasta el mes pasado las copias de Wikipedia mostraban para el artículo Golajab el contenido del artículo Museo de Arte de Filadelfia. En las últimas copias su contenido es el correcto. CEM-bot hizo correcciones ortográficas sobre los artículos afectados y eso fue suficiente para corregir el problema.
  • En una segunda etapa, CEM-bot trabajó sobre los artículos afectados por este problema en los que no se encontraron correcciones a realizar; uno de ellos fue Bajo el bosque lácteo. En las copias del último año aparece con el contenido de Pleomórfico, una redirección hacia Pleomorfismo. Luego del cambio cosmético su contenido es el correcto.
  • Giges (desambiguación) no tenía cambios triviales a realizar, por lo que en una próxima copia seguirá con el contenido que ha mostrado el último año, es decir, el de Johann Michael Bach.
En la etapa final se están realizando cambios triviales en los artículos que no necesitaron cambios de otro tipo. El más sencillo que se encontró fue el introducir una línea en blanco al principio de las páginas afectadas.

  • Playa de Torrecarbonera es otro artículo cuyo contenido era incorrecto en los dumps (mostraba el contenido de una categoría). El bot incluyó una línea en blanco al principio del artículo que luego de una edición desapareció. Ya modificado, en el próximo dump debería mostrarse su contenido correcto.

 

Nuevas correcciones

Boticario cosechando errores a través de Wikipedia. (Imagen propuesta por Gustrónico).

  • Cromlech debería sutituirse por crómlech, de hecho es el término correcto segun la RAE, ya que cromlech es el nombre en bretón.
  • “lapso de tiempo” es una redundancia, debería reemplazarse por “lapso” o “período”.
  • Palabras con “ń” en lugar de “ñ” como “ańos” (no confundir con correctos usos, del alfabeto polaco, etc.).
  • Substituir “cojer” por “coger” y hacer lo mismo para todas sus formas verbales (sobre todo las del presente).
  • Protejer => proteger.
  • “atencion” por “atención” esta palabra siempre lleva tilde.
  • “fué” por “fue” actualmente, tanto para el verbo ir y para el verbo ser se escribe igual, sin tilde, esto lo pueden comprobar en la página de la RAE al conjugar ambos verbos.
  • “Normandia” debería ser remplazado por “Normandía”.
  • Substituir “single” por “sencillo” ya que la primera es en inglés y la segunda en español.
  • Hay muchas apariciones de “hechar” y de sus “formas verbales” (a pesar de no ser un verbo) derivadas: hechar, hechado/a/s. Todas son sin h (se refiere al verbo “echar”).

Correcciones que realiza

La base inicial de patrones de corrección fue creada por Yrithinnd para su bot y está listada aquí.

Detalles

  • En diciembre de 2006, el bot incluye aproximadamente 17.000 patrones de corrección.
  • Consta de un cosechador de errores y de un corrector basado en las herramientas de pywikipedia.
  • El cosechador es desarrollado por Ascánder, está escrito en perl y trabaja sobre respaldos de la base de datos de Wikipedia publicados aproximadamente cada 20 días.
  • El cosechador y el bot corren bajo Ubuntu-linux, en lugar del protege-pantalla en la máquina de Ascánder.
  • Las correcciones son revisadas una por una por Boticario. Sin embargo, algunas correcciones inapropiadas se escapan de vez en cuando.
  • Favor remitir los comentarios aquí.

En cada palabra o grupo de palabras se resalta el punto en donde típicamente se encuentra el error y en la siguiente columna se listan los errores más usuales.

 : Búsqueda con mayúsculas y minúsculas tomada literalmente.

Palabra Error Palabra Error
autonom í a i abri é ndose(la, le, lo, las, les, los, ) e
absorci ó n o ac á a
á cid[ao]s? a Á cid[ao]s? A
act ú a[ns]? u acu á tic(o, a, os, as, amente) a
adem á s a administraci ó n o
a é re[ao]s? e aeron á utic[ao]s? a
agrade z c[ao][ns]? s agr í colas? i
á lamos? a Á lamos? A
albedr í o i álbum (es, ) (albun, álbun, album)
Álbum (es, ) (Albun, Álbun, Album) alcald í as? i
alcoh ó lic[ao]s? o alem á n a
alg ú n u all í i
almac é n e almac e nes é
á mbar a Á mbar A
ambientaci ó n o á mbitos? a
Á mbitos? A Amé rica (ame, Ame, amé)†
ampliaci ó n o anecd ó tic[ao]s? o
anfitri ó n o an ó nim(o, a, os, as, amente) o
antig ü edad(es)? u añadi é ndoles? e
aparecer á a aparici ó n o
aplicaci ó n o aqu í i
á rbol(es, ) a Á rbol(es, ) A
á reas? a Á reas? A
á rid[ao]s? a Á rid[ao]s? A
armon í as? i arm ó nic(o, a, os, as, amente) o
art í culos? i artiller í a i
art í sitic(o, a, os, as, amente) i as í i
asociaci ó n o asumi ó o
atac a ndo á atl á ntic[ao]s? a
atmosf é ric(o, a, os, as, amente) e á tomos? a
Á tomos? A atra í d[ao]s? i
atr á s a autom á tic(o, a, os, as, amente) a
automatizaci ó n o autom ó vil(es)? o
az ú car u balc ó n o
bal ompié (onpie, ónpie, onpié, ompie, ómpie) bal ó n o
bamb ú (es, ) u b á rbar(o, a, os, as, amente) a
bas á ndo(se, me) a b á sic(o, a, os, as, amente) a
bast ó n o bater í as? i
b éis bol e(si, is) b í blic(o, a, os, as, amente) i
bibliograf í a i biolog í as? i
biol ó gic(o, a, os, as, amente) o bol í var(es, ) i
bot á nic[ao]s? a brit á nic[ao]s? a
b ú squedas? u caballer í as? i
ca cerí a [zc]eri cad á ver a
cad a veres á diz ca
ca í d[ao]s i calc á re[ao]s? a
c á lid[ao]s? a c á maras? a
cami ó n o canci ó n o
c á nticos? a cañ ó n o
c á psulas? a car á cter a
caracter í stic(o, a, os, as, amente) i caser í os? i
categor í as? i cat ó lic[ao]s? o
celebraci ó n o c é lulas? e
cer á micas? a cercan í as? i
cient í fic(o, a, os, as, amente) i cil í ndric[ao]s? i
cintur ó n o cirug í as? i
c í vic(o, a, os, as, amente) i civilizaci ó n o
cl á sic(o, a, os, as, amente) a clasificaci ó n o
cl á usulas? a cl í max i
codificaci ó ns? o c ó digos? o
combinaci ó n o comenz ó o
compañ í as? i composici ó n o
comunicaci ó n o com ú n(mente, ) u
concentraci ó n o condici ó n o
configuraci ó n o con í feras? i
consegu í a[ns]? i conservaci ó n o
consideraci ó n o consigui ó o
consist í an? i consisti ó o
con strucció n s?truc?cio con strui d[ao]s? (s?)truí
contaminaci ó n o continuaci ó n o
contin ú an u contribuci ó n o
convirti é ndo(la, lo, las, los, le, les, ) e convirti ó o
correci ó n o correspond í a[ns]? i
corrosi ó n o creaci ó n o
Cristó bal (Cristo, cristó) cr í ticamente i
cu a n á cuesti ó n o
culminaci ó n o cumpli ó o
c ú pulas? u deb í a[ns]? i
d é bil(es, mente, ) e debi ó o
d é cadas? e decidi ó o
decisi ó n o dej a ndo á
dem á s a denominaci ó n o
depend í a[ns]? i descripci ó n o
descubr í a[ns]? i descubri e ndo é
descubri ó o des o rden(es, ) ó
despose í dos? i despu é s e
destru i d[ao]s? í destruy é ndol[ao]s? e
detr á s a devaluaci ó n o
di á metros? a d í as? i
dif í cil(es, mente) i difusi ó n o
di o ó diplom á tic[ao]s? a
direcci ó n o discograf í as? i
distinci ó n o distra í d(o, a, os, as, amente) i
distribuci ó n o distribu i d[ao]s? í
dividi ó o divisi ó n o
domin á ndo(la, lo, las, los, le, les, ) a duraci ó n o
ecolog í a i ecol ó gic[ao]s? o
econom í a i econ ó mic(o, a, os, as, amente) o
edici ó n o educaci ó n o
ejecuci ó n o ejerc í a[ns]? i
ejerci ó o el é ctric[ao]s? e
electr ó nica o ele a[ns]? [gj]i
elevaci ó n o eligi ó o
empez ó o emulaci ó n o
encontr ó o energ í as? i
é nfasis e É nfasis E
enfr í a[ns]? i epec í fic(o, a, os, as, amente) i
é pocas? e É pocas? E
erecci ó n o escalaf ó n o
escrib í a[ns]? i escribi ó o
espec í ficamente i esp é cimen e
espec í menes i esp í ritus? i
estableci é ndose(la, le, lo, las, les, los, )   estaci ó n o
Estados Unidos (E.E.U.U., Estados Unidos de América, los EUA, EUA, los E.U.A, E.U.A, los EEUU, EEUU, los EE.UU., EE.UU., los USA, USA, los U.S.A, U.S.A, la Unión Americana, los estados unidos, los estados Unidos, los Estados unidos, Estado Unidos, Estado Unido, estado unido, Estados Unido, estados unido)† estadounidense (norte, norte )american[ao]
est á n a est é [ns] e
est é tic(o, a, os, as, amente) e esto[s] é
estrat é gic(o, a, os, as, amente) e etimolog í a i
etimol ó gica(mente, ) o e tnias? é
eucarist í a i exclu i d[ao]s? í
exclusi ó n o exig í a[ns]? i
exigi ó o exist í a[ns]? i
existi ó o é xitos? e
É xitos? E ex ó tic[ao]s? o
expansi ó n o explosi ó n o
extend í a[ns]? i extensi ó n o
f á cil(es, mente, ) a fantas í as? i
favorec i a[ns]? i f e é
fen ó menos? o filosof í as? i
filos ó fic(o, a, os, as, amente) o fiscal í a i
f í sic(o, a, os, as, amente, ) i floraci ó n o
flu i r í fotograf í as? i
fotogr á fica(mente, ) a franc é s e
fr’

tonteras

asta
: cuerno, mástil.
aya
: cuidadora de niños.
hasta
: preposición.
haya
: del verbo haber; árbol.
– Una madera muy utilizada es la de haya. – El cier
vo tiene potentes astas o cuernos.
– El asta del toro era afilada. – El aya o nodriz
a cuidaba al bebé.
– Llegamos hasta el final del camino. – Ha pintado
el asta de la bandera.
– Cuando hayas estudiado hablaremos de tu hallazgo.
3
er
Grupo
:
haber
: tener, existir.
ice
: del verbo izar, levantar.
a ver
: ver o comprobar algo.
hice
: del verbo hacer.
– Tiene que haber otro libro más divertido. – Orden
a al soldado que ice la bandera.
– ¡Haber venido antes! – Ayer hice mal en venir.
– Al sonar el himno izaron la bandera. – Vamos a v
er el camino que lleva a la playa.
yerro
: error, equivocación.
uso
: del verbo usar, costumbre.
hierro
: metal.
huso
: utensilio para hilar; franja horaria.
– Hizo uso indebido del permiso. – Sin el huso es
difícil hilar.
– El hierro es un metal duro. – Uso más el coche
que la bicicleta.
– Cualquier yerro o equivocación puede tener soluci
ón.
herrar
: poner herraduras y marcar
¡hala!
: interjección.
errar
: no acertar; andar vagando.
ala
: de los pájaros, aviones.
– Herrar es poner herraduras. – ¡Hala! ¡Vamos tod
os a la mesa!
– Tienes que acertar, no puedes errar. – ¿Cuándo h
ay que herrar a la mula?
– El concursante erró la respuesta y quedó eliminad
o.
hoyo
: agujero, hueco.
hará
: del verbo hacer.
oyó
: verbo oír.
ara
: verbo arar, hacer surcos.
– ¿Con qué ara el labrador la tierra?
– El muñeco lo hará Ramón. – El hortelano ara la
huerta con el arado.
– Miguel no oyó que le decían que tuviese cuidado y
metió el pie en un hoyo.
4º Grupo
:
ha
: del verbo haber.
e
: en lugar de y.
ah
: interjección, sorpresa, admiración.
he
: del verbo haber.
a
: preposición.
eh
: para llamar, preguntar, advertir.
– Mi primo ha de venir hoy. – Hoy ha venido mi he
rmano.
– Me voy a dormir con mis abuelos. – He aquí un co
nsejo útil para todos.
– Yo he dormido mucho. – ¡Ah ya me acuerdo!.
– ¡Ah! !Qué sorpresa!. – Estudió Geografía e Hist
oria.

En 1804, William Henry Harrison, Gobernador de Indiana (que por aquel entonces incluía Illinois), negociaron un tratado en San Luis (Misuri) con un grupo de Sauk y jefes Fox, por el cual los indios cederían sus tierras al este del Misisipi a cambio de 1.000 dólares al año y la condición de que las tribus podrían seguir viviendo allí hasta que la tierra fuera tasada y vendida al gobierno de los EE. UU.2 De cualquier forma fue por el Artículo 2 en que se cedía la tierra “a perpetuidad” a los Estados Unidos lo que levantó la ira de las tribus Sauk y Fox.3 2 Las compensaciones por las cesiones de la tierra fueron estipuladas en 2.234,5 US$. Ademas de una compensación anual por el artículo 3 del tratado.2 El tratado de 1804 con los Sauk y Fox incluía artículos animando a promocionar la amistad y la paz, así como ofertas de negocio, provisiones y garantías de protección.2

El tratado fue rechazado por algunos líderes de las tribus como Halcón Negro que no habían sido consultados ni representados y no habían dado la autorización para ceder las tierras.3 Después de la Guerra Anglo-Estadounidense de 1812, en la cual Halcón Negro había luchado contra los EE. UU., este firmó una paz en mayo de 1816 por la cual reconocía el tratado de 1804.

Mientras, la población blanca de Illinois aumentó considerablemente tras la guerra del 1812, excediendo los 50.000 en 1820 y los 150.000 en 1830. En 1828, un enviado del gobierno estadounidense, Thomas Forsyth, informó a las tribus que debían desalojar sus asentamientos al este del Misisipi.3

El 15 de julio de 1830, el Comisionado para los Indios William Clark firmó otro tratado con los líderes Sauk y Fox, entre otras tribus, en Fuerte Crawford en Prairie du Chien, Wisconsin.4 El tratado cedía unos 107.000 km² de tierra Sauk al este del Misisipi al gobierno de Estados Unidos. También se creó un límite de “suelo neutral” entre Sauk y Foxes y sus enemigos tradicionales, los Sioux, con el propósito de evitar hostilidades entre tribus. El tratado fue firmado por Keokuk, y en noviembre de 1830 aprobado por la asamblea Sioux.5

Detonante

El área incluía el pueblo de Saukenuk, en el cruce de caminos entre el Misisipi y el Rock River, que era el lugar principal de estancia estival de los Sauk quienes se habían asentado en esa región menos de 100 años antes, cerca de la fecha de nacimiento del mismo Black Hawk. Durante la primavera de 1830, cuando Black Hawk y sus hombres regresaron al lugar para acampar, encontraron colonos blancos ocupando el poblado. Black Hawk no acepto la petición de venta de la tierra y se esforzó en recuperar su tierra. Después de ese año de tensión regresó en 1831. El gobernador de Illinois a la sazón, John Reynolds declaró que su estado estaba siendo invadido por los indios.

En respuesta a la llamada de auxilio del Gobernador Reynolds, el general Edmund Pendleton Gaines desplazó sus fuerzas desde San Luis, Misuri a Saukenuk para forzar a Black Hawk a abandonar la región inmediatamente. Black Hawk al principio se negó pero después se movió a lo largo del Misisipi sin derramamiento de sangre bajo la amenaza de Gaines. Unos 1.400 hombres de la milicia de Illinois se sumaron a la lucha llamados por Reynolds. En ese momento Black Hawk firmó una rendición en la que prometió permanecer al otro lado del Misisipi. Sin embargo no tardaría en romper este pacto

La guerra

El 6 de abril de 1832, varias tribus se unieron a la lucha y recibieron la promesa de ayuda del Reino Unido. Tras una primavera de preparativos de guerra tanto por parte de los blancos como de los indios tuvo lugar el primer enfrentamiento de la guerra: la batalla de Stillman’s Run el día 14 de mayo de 1832. Inesperadamente, la unión de los indios sauk y fox logró una victoria sobre los blancos. Tan solo 11 hombres murieron, pero se exageró la tragedia, dejando a los indios como sanguinarios guerreros bárbaros e inhumanos. Algunos medios dijeron falsamente que las bajas blancas ascendían a 2.000 hombres.

Numerosos enfrentamientos menores se sucedieron ese año con diferentes resultados. Los medios estadounidenses los presentaron todos como masacres. Entre ellos: “Batalla de Buffalo Groove”, “Masacre de Indian Creek”, “Masacre de San Vrain”, “Fuerte de Blue Monds”, “Masacre de la granja Spaford”, “Batalla de la herradura torcida”, “Batalla Waddams Grove”, “Fuerte del río Apple”, “Batalla de Kellog’s Grove” donde se enfrentaron los indios al general estadounidense Adam Snyder.

La batalla decisiva de la guerra tuvo lugar el 21 de julio de 1832. Fue la llamada batalla de Wisconsin Heights en la cual el general estadounidense Henry Dodge capturó al líder indio Black Hawk cerca de la actual Sauk City en el estado de Wisconsin. Unos 70 hombres de Black Hawk resultaron muertos entre los ahogados en el río y los muertos en servicio. Los que huyeron, entre ellos mujeres y niños serían más adelante perseguidos y capturados en la batalla de “Bad Axe”, dando final a la guerra.

Curiosidades

El mismo Abraham Lincoln sirvió en la guerra así como el general estadounidense Winfield Scott. Las fuerzas de la brigada estadounidense nunca superaron los 1.000 hombres, y aunque los indígenas tenían un número de hombres similar, su formación militar y su armamento siempre fue muy inferior

 
 

Minientrada

Como aprendió Tomás Oleas a dibujar?

Ya sabía dibujar y lo perfecciono a los 19 años

De donde salió el nombre final del dinosaurio principal de su comic?

Surgió de un comentario de su esposa

Que diario público por primera vez Gor, el príncipe dinosaurio?

El universo

Quien distribuye su comic internacionalmente y en qué país se ha publicado?

(united media) se ha publicado en el Salvador, México, Nicaragua, Miami, estados unidos, Panamá

Que es el lenguaje visual?

Es un sistema de comunicación que facilita la comunicación por medio de la imagen

Que es la iconicidad de la imagen?

Son representaciones de una parte de la realidad, no son la realidad

Une con líneas el nivel de iconicidad de la imagen con su respectiva descripción

Hologramas           *Imágenes de registro estereoscópico que                                                    restablecen  la  Forma y posición de los objetos                                              emisores de radicación Presentes en el espacio.                                                                                                       

                                                              

Representación      En este nivel observamos la                                                                         imagen al    natural que                                                                              restablece todas las                                                                                    propiedades del objeto                                                                                      

 

Fotografía a color     En este nivel las imágenes son pictogramas y                                                tienen todas Las características sensibles,                                                       excepto la forma.                          

                                                                        

                                                                                                                                

 Imagen Natural       Representaciones no figurativas.                                                                    Tienen  abstraídas todas Las                                                                      propiedades sensibles y de relación.

                                                                              

 

Pictogramas           El grado de definición de la imagen                                                               este equipado al Poder resolutivo del ojo                                                       medio. 

Observe las imágenes y escribe que tipo de iluminación se utiliza en cada una

         iluminación lateral      

   luz dura  

        luminación cenital                      

 

Escribe que clase de lenguaje visual y que tipo de color se utilizó en estas imágenes. Explica tu respuesta

       Naturalista:  los colores son percibidos                                                           como un atributo natural                                                                              de las cosas coloreadas

Expresionistas: el color contribuye a la                                                           dramática de la imagen, para lograr                                                              mayor expresividad 

 

Elabora una imagen donde apliques una de los de iconicidad del color. Explica tu trabajo

olor fantasioso arbitrario. Se impone sobre la forma icónica

                              y la lógica preceptiva de los colores de la realidad  

 

Qué es el mensaje visual?

Es parte de la comunicación visual y logra combinar los sentidos para su interpretación; pero para eso el mensaje visual debe de ser interpretado correctamente

Qué es la alfabetidad visual?

Es la lectura de la imagen en sus distintos niveles

Por qué la alfabetidad visual cambia de acuerdo a cada cultura?

Dependiendo de la creencia y a veces de su religión por ejemplo en Japón el luto es de blanco y en otros países es el negro

 

Cuáles son las tres formas fundamentales en la lectura y compresión de los mensajes visuales? Describe cada una de ellas.

  • La representación: es lo que vemos y reconocemos automáticamente por experiencia
  • Abstracción: es lo que no conocemos como u garabato en una hoja
  • Simbología: el hombre ha creado millones de simbologías.

Qué debemos tomar en cuenta al crear un mensaje visual?

El significado de los símbolos, las connotaciones y demostración de colores

Observa la imagen y escribe el significado que tiene para ti y el significado que tendría para una persona de la India de acuerdo al contexto de cada uno.

                                   

India: es un animal sagrado para los habitantes de ese país

Para mí: y para nosotros (es parte de nuestra de comida, o alimentación)

Qué es el arte y que expresa?

A las creaciones mediante las cuales el ser humano expresa una visión sensible entorno al mundo

Qué tipos de imágenes pueden ser consideradas artísticas?

Vectoriales: son las que partimos de forma geométrica

Pixeles: llegan a lograr un realismo pero no son fotografías

Qué es una imagen vectorial?

Son las que podemos crear partiendo de formas geométricas que no están compuestos de pixeles

Qué es un mapa bits?

Son las casillas de colores que generan una imagen

Escribe con tus, palabras qué se debe hacer al producir una imagen artística

Tomar en cuenta cada detalle, cada pedazo de la foto, tratar de reflejar siempre un mensaje por medio de las expresiones

preguntas de programacion

Defina que es un programa?

Es una serie de órdenes o instrucciones que el computador ejecuta paso a paso para obtener un resultado estas instrucciones deben estar escritas en un lenguaje de programación.

Qué es un lenguaje de programación?

Conjunto de palabras reservadas denominadas instrucciones o formatos de mediante los cuales se diseñan programas para el ordenador

 Mediante un cuadro o esquema enumere los lenguajes de programación que conoce

1.png

 

 

 

 

 

 

 

Defina un concepto sobre leguaje de máquina

Son lenguajes de programación basados en códigos binarios que trabajan directamente con la memoria del ordenador y son específicos de cada modelo o fabricante

Escriba las ventajas de utilizar los lenguajes de máquina

Posibilita la carga de datos y procesos directamente a la memoria. Esto permite mayor velocidad de ejecución superior a cualquier lenguaje de programación

Diga usted que inconvenientes presenta el uso de lenguaje de máquina

El principal inconveniente es la extrema dificultad para entenderlo y codificarlo, además de ser esclavo de la arquitectura del procesador y demás elementos del hardware

Escriba una definición para los lenguajes de bajo nivel

Los lenguajes de bajo nivel utilizan códigos nemo técnicos en lugar de códigos binarios y los direccionamientos de datos e instrucciones los realiza la memoria de forma simbólica

Especifique las ventajas que representa el uso de las ventajas de bajo nivel

Son más fáciles de utilizar que los lenguajes de maquina por el uso de códigos simbólicos, igualmente su velocidad de respuesta a los procesos es más rápida

Cuáles serían las desventajas del uso de los lenguajes de bajo nivel

También dependen de la máquina y de su arquitectura, el conocimiento interno de los registros del ordenador generan también un grave inconveniente

Diga usted que es ensamblador

Es un lenguaje de bajo nivel utilizado por la codificación de los sistemas operativos, base de datos y demás programas de control. Esto permite aprovechar al máximo los recursos del ordenador

Defina usted que es un lenguaje de alto nivel

Están diseñados para que las personas escriban y entiendan los programas ya que utilizan un compilador que funciona como traductor entre la máquina y el programador

Cuáles serían las desventajas del uso del lenguaje de alto nivel

Independencia total de la máquina ya que los programas pueden funcionar indistintamente en cualquier ordenador. Son muchos más fáciles de entender ya que utilizan un lenguaje utilizado por los humanos palabras simples generalmente ingles 

Realice un cuadro sinóptico donde describa la clasifación de los lenguajes de alto nivel

 

  L.P          L. P científicos

  A.N          L.P comercial

                   L.P general

Seleccione la respuesta correcta del lenguaje Pascal

  • Lenguaje de programación de alto nivel de carácter con comercial que se destaca por su programación estructura
  • Lenguaje de programación de alto nivel de carácter científico que se destaca por su programación orientada a objetos
  • Lenguajes de programación de alto nivel de carácter científico que se destaca por su programación estructurada  

Seleccione verdadero o falso acerca del compilador en Pascal

  • El compilador trabaja de manera directa con la memoria y corrige los errores automáticamente (F)
  • Sirve como traductor entre el programador y el procesador (V)
  • Muestra los resultados de la ejecución del programador (F)

De la siguiente definición estructure un mapa conceptual sobre el lenguaje C

Es un lenguaje de programación de alto nivel que por su estructura es capaz de manipular al ordenador de su bajo nivel tal como lo haría el lenguaje ensamblador ha sido base para desarrollar sistemas operativos como Unix , lilux e incluso el propio Windows

 

Responda verdadero o falso a las siguientes aseveraciones acerca de los lenguajes de programación comercial

  • Son utilizados en el desarrollo de sistema computacionales aplicados al campo de las finanzas (F) 
  • Son utilizados en el desarrollo de sistemas computacionales aplicados al campo de los negocios en general (V)
  • Son utilizados  en  el  desarrollo  de  sistemas computacionales aplicados al campo bancario (F)

Seleccione la respuesta más coherente sobre los lenguajes de programación visual

  • Son los lenguajes de alto nivel que maneja controles y que su codificación es en lenguaje binaria
  • Son lenguajes de programación orientados a objetos que tienen una interfaz gráfica de usuarios  que permite manejar clases y controles
  • Lenguajes de programación de alto nivel de tipo estructurado

Una con líneas lo correcto acerca de las definiciones del proceso de ejecución de un programa de alto nivel

Compilador                                                   Entiende el ordenador

Programa fuente                                          Traduce el programa fuente

Programa objeto                                           Entiende el programador

Ordene los pasos para elaborar un programa

  1. Entendimiento del problema a resolver
  2. Estructura de un algoritmo
  3. Elaboración de un diagrama de flujo
  4. Prueba de escritorio
  5. Pseudocódigo
  6. codificación
  7.  depuración

Haga un cuadro sinóptico donde muestre las características de los tipos de algoritmos

                                          Domestico      se le denomina algoritmo domestico al conjunto de

                                                                    Pasos que resuelven problemas de la cotidianidad

Algoritmos                       Lógico              son algoritmos que evalúan uno o más condiciones

                                                                     y que dan una respuesta verdadera o falsa

                                        Matemático        conjunto de pasos que resuelven procesos matemáticos

 

Una con línea la definición con la simbología correcta

Bifurcaciones es una condición o Pregunta                                   

que pueden tener 2 Opciones de respuesta

verdadera o falsa

 

 

Indica el incio o el final                                                                        

 

Símbolo utilizado para representar la salida

O presentación en pantalla                                                                      

 

 

Utilice este símbolo para realizar un proceso

 

 

Símbolo para la entrada de datos o variables                                                                 

Del siguiente concepto elabore un mapa conceptual acerca de lo que es una variable

Variable es un casillero de memoria en el cual podemos almacenar datos. Esto debe tener un nombre que deben cumplir las siguientes reglas, deben empezar siempre con una letra, no pueden tener espacio en blanco o símbolos especiales; deben ser nombres cortos y significativos y no deben repetir su nombre

En un cuadro sinóptico ubique el orden de prioridad de los operadores matemáticos

( )                      

Máxima

/   %    *

Media

+    –

Mínima

      

Desarrolle un cuadro donde se muestren los operadores relacionales su significado, un ejemplo

relacionar

significado

uso

  >

Mayor que

10 > 4

Menor que

6 < 8

>=

Mayor igual

3 >= 6

<=

Menor igual

9 <= 3

<> 

Diferente de

A < > B 

 Seleccione la respuesta correcta acerca de lo que es una bifurcación

  • Es una pregunta con dos respuestas definidas que se ejecuta al instante
  • Es una pregunta con solo dos respuestas; verdadera o falsa
  • Es una respuesta con dos respuestas posibles sí o no

Ordene correctamente las reglas de diagramación

  1. Los diagramas se dibujan de arriba hacia abajo y de izquierda a derecha
  2. Los símbolos van siempre interconectando por una línea de flujo
  3. Las líneas de flujo usan siempre rectas y no pueden cruzarse
  4. Cuando un diagrama no alcanza en página deben usarse con conectores
  5. Para visualizar o presentar mensajes estos deben estar entre comillas

De una definición acerca de la que es una constante

Son registros de memoria que almacena valores que permanecen fijos o constantes durante la ejecución de una aplicación o programa y no va a variar en absoluto

Mediante un cuadro sinóptico defina los tipos de bifurcaciones que usted ha utilizado

Tipos                                                                                                        evalúa una condición do una posible                                                                                                           generando una posible

De                                          simples                                                            respuesta

Bifurcaciones

                                         

    Tipos                                                                                                                       Evalúa una condición          

                                                Dobles                                                             generando dos alternativas

      De                                                                                                               Sea por verdadero o por 

   Bifurcaciones                                                                                                  Falso

                                                                                                                                     Evalúa una condición    

                                          Múltiples                                                                          generando más de

                                                                                                                                     Dos alternativas

                                                                                                                                      De respuesta   

Simetría

Simetría

 

El Hombre de Vitruvio, de Leonardo da Vinci (ca. 1487), es una representación muy citada de la simetría del cuerpo humano, y por extensión del mundo.

 

La simetría (del griego σύν “con” y μέτρον “medida”) es un rasgo característico de formas geométricas, sistemas, ecuaciones y otros objetos materiales, o entidades abstractas, relacionada con su invariancia bajo ciertas transformaciones, movimientos o intercambios.

 

En condiciones formales, un objeto es simétrico en lo que concierne a una operación matemática dada si el resultado de aplicar esa operación o transformación al objeto, el resultado es un objeto indistinguible en su aspecto del objeto original. Dos objetos son simétricos uno al otro en lo que concierne a un grupo dado de operaciones si uno es obtenido de otro por algunas operaciones (y viceversa). En la geometría 2D las clases principales de simetría de interés son las que conciernen a las isometrías de un espacio euclídeo: traslaciones, rotaciones, reflexiones y reflexiones que se deslizan. Además de simetrías geométricas existen simetrías abstractas relacionadas con operaciones abstractas como la permutación de partes de un objeto.

 

La simetría también se encuentra en organismos vivos.

 

Simetría en geometría

 

 

Grupo de simetría de la esfera.

 

Cuando hablamos de objetos físicos o elementos geométricos el concepto de simetría está asociado a transformaciones geométricas tales como las rotaciones, las reflexiones o las traslaciones. Dos simetrías sencillas son la simetría axial y la simetría central. Así se dice que un objeto presenta:

 

  • Simetría esférica si existe simetría bajo algún grupo de rotaciones, matemáticamente equivale a que el grupo de simetría de un objeto físico o entidad matemática sea SO(3).
  • Simetría cilíndrica o simetría axial si existe un eje tal que los giros alrededor de él no conducen a cambios de posición en el espacio, matemáticamente está asociado a un grupo de isometría SO(2).
  • Simetría reflectiva o simetría especular que se caracteriza por la existencia de un único plano, matemáticamente está asociado al grupo SO(1) o su representación equivalente \mathbb{Z}_2. En dos dimensiones tiene un eje de simetría y en tres dimensiones tiene un plano. El eje de simetría de una figura bidimensional es una línea, si se construye una perpendicular, cualquier punto que reposee en esta perpendicular a la misma distancia del eje de simetría son idénticos. Otra manera de verlo es que si la forma se doblara por la mitad sobre el eje, las dos mitades serían iguales. Por ejemplo, un cuadrado tiene cuatro ejes de simetría, ya que hay cuatro formas diferentes de doblarlo haciendo que sus bordes coincidan. Un círculo tendría infinitos ejes de simetría por la misma razón.
  • Simetría traslacional se da cuando la transformación T_a(p) = p + a\, deja invariable a un objeto bajo un grupo de traslaciones discretas o continuas. El grupo es discreto si la invariancia sólo se da para un número numerable de valores de a y continuo si la invariancia se presenta para un conjunto infinito no numerable de valores de a en caso contrario.

 

Algunos tipos de simetría que combinan dos o más de los anteriores tipos son:

 

  • Simetría antitraslacional que implica una reflexión en una línea o plano combinado con una traslación a lo largo de ese mismo eje. El grupo de simetría es isomorfo a \mathbb{Z}_2\times \R^n.
  • Simetría de rotorreflexión o simetría de rotación impropia, implica rotación al rededor de un eje combinado con reflexión en un eje perpendicular al de rotación.
  • Simetría helicoidal implica un movimiento de rotación en torno a un eje dado con un movimiento de traslación a lo largo de ese mismo eje. Puede ser de tres clases:
    1. Simetría helicoidal infinita
    2. Simetría helicoidal de n-ejes
    3. Simetría helicoidal que no se repite

 

Simetría en dibujo

 

En Dibujo existen 5 simetrías importantes que son simetría de traslación, rotación, ampliación, bilateral, abatimiento.

 

  • Simetría de traslación Es la repetición de una forma a lo largo de una linea en cualquier posición, vertical, horizontal, diagonal o curva, que se desplaza a cualquier distancia constante sobre el eje.

 

  • Simetría de rotación Giro de un motivo que se repite cierto numero de veces hasta ser idéntico al inicio, tiene determinado orden en la rotación(15º, 30º, 45º, 60º, 90º, hasta 360º). La forma gira en torno a un centro que puede estar dentro de la misma.

 

  • Simetría de ampliación Las partes del son semejantes, pues tienen la misma forma pero no el mismo tamaño, ya que se extiende del centro hacia afuera para ser cada vez mayor.

 

  • Simetría de abatimiento El eje de giro nos muestra dos partes idénticas con un giro de 180º una en relación a la otra.

 

  • Simetría Bilateral Un retrato bilateral, esta compuesto por formas iguales a igual distancia a ambos lados de un eje. Todo eso dentro de un eje de simetría.

 

Simetría en física

 

En física el concepto de simetría puede formularse en una forma no geométrica. Si K es un conjunto de objetos matemáticos del mismo tipo (funciones, formas geométricas, ecuaciones, …) que representan algunas propiedades de un sistema físico y G es un grupo de transformaciones que actúa sobre K de tal manera que:

 

g (\in G): K \to K

 

Se dice que un elemento de k0 presenta simetría si:1

 

\forall g\in G: g(k_0) = k_0

 

Así por ejemplo varias leyes de conservación de la física son consecuencia de la existencia de simetrías abstractas del lagrangiano, tal como muestra el teorema de Noether. En ese caso K representaría el conjunto de lagrangianos admisibles, k0 el lagrangiano del sistema bajo estudio y G puede representar traslaciones espaciales (conservación del momento lineal), traslaciones temporales (conservación de la energía), rotaciones (conservación del momento angular) u otro tipo de simetrías abstractas (conservación de la carga eléctrica, el número leptónico, la paridad, etc.)

 

  • Ejemplo 1. Como primer ejemplo consideremos un electrón moviéndose entre dos placas infinitas cargadas uniformemente (dicho sistema se aproxima cierto tipo de condensadores), dado que cualquier traslación paralela a los planos constituye una simetría del sistema físico, entonces tanto la fuerza paralela a dichos planos es nula y por tanto la velocidad paralela a los planos es constante.

 

  • Ejemplo 2. Consideremos un satélite orbitando alrededor de un astro (planeta o estrella) con simetría esférica perfecta, consideremos además que la velocidad del satélite sea perpendicular a la línea entre el centro del satélite y el astro. En ese caso, el lagrangiano es totalmente invariante respecto a rotaciones según un eje que pase por el centro de la fuente del campo gravitatorio. En este caso debido a la simetría de rotación tanto del lagrangiano como de las condiciones iniciales del movimiento, la velocidad perpendicular al planeta es constante y la trayectoria es un círculo invariante bajo una rotación perpendicular al plano de la órbita.

 

Estos dos ejemplos anteriores son casos del teorema de Noether, un resultado general que establece que si existe un grupo uniparamétrico de simetría G para el lagrangiano tal que:

 

\forall \phi_\lambda\in G: L(\phi_\lambda(\mathbf{q}),\phi_\lambda(\dot\mathbf{q}),t) = 
L(\mathbf{q},\dot\mathbf{q},t)

 

Entonces la cantidad escalar:

 

\left \langle \left . \frac{d\phi_\lambda}{d\lambda}\right \vert_{\lambda=0}, \frac{dL}{d\dot\mathbf{q}}\right\rangle = v_1p_1 + ... + v_Np_N

 

Siendo v el campo vectorial que general el grupo uniparamétrico de transformaciones de simetría, y pi los momentos conjugados de las coordenadas generalizadas de posición.

 

Simetría en química

 

 

En química la simetría geométrica de las moléculas es importante, particularmente en química orgánica. Además propiedades como su momento dipolar y las transiciones espectroscópicas permitidas (basadas en reglas de selección como la regla de Laporte) pueden predecirse o ser explicadas a partir de la simetría de la molécula. Las simetrías que aparecen en química están asociadas a grupos finitos de isometrías, en concreto son grupos puntuales de transformaciones de isometría.

 

Simetría en biología

 

Ilustración de los distintos tipos de simetría en las formas orgánicas (Field Museum, Chicago).

 

Simetría en biología es la equilibrada distribución en el cuerpo de los organismos de aquellas partes que aparecen duplicadas. Los planes corporales de la mayoría de organismos pluricelulares exhiben alguna forma de simetría, bien sea simetría radial o simetría bilateral. Una pequeña minoría no presenta ningún tipo de simetría (son asimétricos).

 

Simetría radial

 

 

La simetría radial es la simetría definida por un eje heteropolar (distinto en sus dos extremos). El extremo que contiene la boca se llama lado oral, y su opuesto lado aboral o abactinal. Sobre este eje, se establecen planos principales de simetría; dos perpendiculares que definen las posiciones per-radiales. Las estructuras en otros planos (bisectrices de los per-radiales) quedan en posiciones inter-radiales. La zona entre los per-radiales y los inter-radiales es la zona ad-radial

 

Simetría bilateral

 

Simetria-bilateria.svg

 

 

La mayoría de especies animales tiene simetría bilateral y pertenece por tanto al grupo Bilateria, aunque hay especies como los erizos y las estrellas de mar que presentan simetría radial secundaria (las fases de desarrollo tempranas y las larvas poseen simetría bilateral que posteriormente se pierde en el adulto). La simetría bilateral permite la definición de un eje corporal en la dirección del movimiento, lo que favorece la formación de un sistema nervioso centralizado y la cefalización.

variaciones

Se llama 

Se llama variaciones ordinarias de m elementos tomados de n en n (m ≥ n) a los distintos grupos formados por n elementos de forma que:

No entran todos los elementos.

importa el orden.

No se repiten los elementos.

Variaciones

También podemos calcular las variaciones mediante factoriales:

Variaciones

Las variaciones se denotan por variaciones

Ejemplos

1. Calcular las variaciones de 6 elementos tomados de tres en tres.

Variaciones

Variaciones

2.¿Cuántos números de tres cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5 ?

m = 5n = 3 m ≥ n

No entran todos los elementos. De 5 dígitos entran sólo 3.

importa el orden. Son números distintos el 123, 231, 321.

No se repiten los elementos. El enunciado nos pide que las cifras sean diferentes.

Variaciones

3.¿Cuántos números de tres cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5 ?

m = 6n = 3 m ≥ n

Tenemos que separar el número en dos bloques:

bloques

El primer bloque, de un número, lo puede ocupar sólo uno de 5 dígitos porque un número no comienza por cero (excepto los de las matriculas, los de la lotería y otros casos particulares),

m = 5     n = 1

El segundo bloque, de dos números, lo puede ocupar cualquier dígito.

m = 6     n = 2

Variaciones

4. A un concurso literario se han presentado 10 candidatos con sus novelas. El cuadro de honor lo forman el ganador, el finalista y un accésit.¿Cuántos cuadros de honor se pueden formar?

m = 10n = 3

No entran todos los elementos. De 10 candidatos entran sólo 3.

importa el orden. No es lo mismo quedar ganador que finalista.

No se repiten los elementos. Suponemos que cada candidato presenta una sola obra.

Variaciones

 

Variaciones con repetición

Se llamann variaciones con repetición de m elementos tomados de n en n a los distintos grupos formados por n elementos de manera que:

No entran todos los elementos si m > n. pueden entrar todos los elementos si m ≤ n

importa el orden.

se repiten los elementos.

Variaciones con repetición

Ejemplos

1. ¿Cuántos números de tres cifras se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5 ?

m = 5     n = 3

No entran todos los elementos. De 5 dígitos entran sólo 3.

importa el orden. Son números distintos el 123, 231, 321.

se repiten los elementos. El enunciado nos pide que las cifras sean diferentes.

solución

2. ¿Cuántos números de tres cifras se puede formar con los dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5 ?

m = 6     n = 3

Tenemos que separar el número en dos bloques:

bloque

El primer bloque, de un número, lo puede ocupar sólo uno de 5 dígitos porque un número no comienza por cero (excepto los de las matriculas, los de la lotería y otros casos particulares),

m = 5     n = 1

El segundo bloque, de dos números, lo puede ocupar cualquier dígito.

m = 6     n = 2

solución

3. ¿Cuántas quinielas de una columna han de rellenarse para asegurarse el acierto de los 15 resultados?

m = 3     n = 15     m < n

entran todos los elementos. En este caso el número de orden es mayor que el número de elementos.

importa el orden.

se repiten los elementos.

repetición

ordinarias de m elementos tomados de n en n (m ≥ n) a los distintos grupos formados por n elementos de forma que:

No entran todos los elementos.

importa el orden.

No se repiten los elementos.

Variaciones

También podemos calcular las variaciones mediante factoriales:

Variaciones

Las variaciones se denotan por variaciones

Ejemplos

1. Calcular las variaciones de 6 elementos tomados de tres en tres.

Variaciones

Variaciones

2.¿Cuántos números de tres cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5 ?

m = 5n = 3 m ≥ n

No entran todos los elementos. De 5 dígitos entran sólo 3.

importa el orden. Son números distintos el 123, 231, 321.

No se repiten los elementos. El enunciado nos pide que las cifras sean diferentes.

Variaciones

3.¿Cuántos números de tres cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5 ?

m = 6n = 3 m ≥ n

Tenemos que separar el número en dos bloques:

bloques

El primer bloque, de un número, lo puede ocupar sólo uno de 5 dígitos porque un número no comienza por cero (excepto los de las matriculas, los de la lotería y otros casos particulares),

m = 5     n = 1

El segundo bloque, de dos números, lo puede ocupar cualquier dígito.

m = 6     n = 2

Variaciones

4. A un concurso literario se han presentado 10 candidatos con sus novelas. El cuadro de honor lo forman el ganador, el finalista y un accésit.¿Cuántos cuadros de honor se pueden formar?

m = 10n = 3

No entran todos los elementos. De 10 candidatos entran sólo 3.

importa el orden. No es lo mismo quedar ganador que finalista.

No se repiten los elementos. Suponemos que cada candidato presenta una sola obra.

Variaciones

 

Variaciones con repetición

Se llamann variaciones con repetición de m elementos tomados de n en n a los distintos grupos formados por n elementos de manera que:

No entran todos los elementos si m > n. pueden entrar todos los elementos si m ≤ n

importa el orden.

se repiten los elementos.

Variaciones con repetición

Ejemplos

1. ¿Cuántos números de tres cifras se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5 ?

m = 5     n = 3

No entran todos los elementos. De 5 dígitos entran sólo 3.

importa el orden. Son números distintos el 123, 231, 321.

se repiten los elementos. El enunciado nos pide que las cifras sean diferentes.

solución

2. ¿Cuántos números de tres cifras se puede formar con los dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5 ?

m = 6     n = 3

Tenemos que separar el número en dos bloques:

bloque

El primer bloque, de un número, lo puede ocupar sólo uno de 5 dígitos porque un número no comienza por cero (excepto los de las matriculas, los de la lotería y otros casos particulares),

m = 5     n = 1

El segundo bloque, de dos números, lo puede ocupar cualquier dígito.

m = 6     n = 2

solución

3. ¿Cuántas quinielas de una columna han de rellenarse para asegurarse el acierto de los 15 resultados?

m = 3     n = 15     m < n

entran todos los elementos. En este caso el número de orden es mayor que el número de elementos.

importa el orden.

se repiten los elementos.

repetición

Relación binaria

Relación binaria

 

(Redirigido desde «Relación homogénea»)

 

En matemáticas, una relación binaria es una relación matemática R entre los elementos de dos conjuntos A y B. Una relación de este tipo se puede representar mediante pares ordenados,  (a,b)\in A \times B :1

 


   R = 
   \Big\{
      (a,b): \; a \in A \quad \land \quad
      b \in B  \quad \land \quad
      R(a,b) = \mbox{cierto}
   \Big\}

 

Las proposiciones siguientes son correctas para representar una relación binaria R\,:

 


   a \mathcal{R} b
   \qquad \mbox{o} \qquad
   R(a,b)
   \qquad \mbox{o bien} \qquad
   (a,b) \in R

 

También puede expresarse:

 


   \mathcal{R} \; a \; b

 

en notación polaca.

 

Ejemplo

 

 

 P = \{ (x,y): \; (x,y) \in \mathbb{R}^2 \; \land \; y =  2 x^2 - 3x +5 \}

 

  • Partiendo del conjunto A de los automóviles de una localidad y P de las personas, podemos definir la relación binaria C Conduce, formada por cada automóvil a, y quien lo conduce p:

 

 C = \{(a,p): (a,p) \in A \times P \; \land \; a\ \mbox{es un autom}\mathrm\acute{o}
\mbox{vil}\ \land \; p \; \mbox{es su conductor} \}

 

Clasificación

 

Relación binaria Relación homogénea Correspondencia matemática Relación reflexiva Relación no reflexiva Correspondencia unívoca Conjunto preordenado Relación de dependencia Aplicación matemática Correspondencia biunívoca Conjunto parcialmente ordenado Relación de equivalencia Aplicación sobreyectiva Aplicación inyectiva Orden total Acotado Aplicación biyectiva

ClasiBinaEs 002.svg

Acerca de esta imagen

 

La importancia en matemáticas de las relaciones binarias, se debe a que una gran parte de las asociaciones entre elementos de conjuntos, tanto numéricos como no numéricos, se hace de dos en dos elementos, tanto si son elementos de un único conjunto o de dos conjuntos distintos, en el esquema se puede ver algunas estructuras algebraicas o subtipos de relación binaria. Emplearemos este esquema para ver estos casos.

 

En primer lugar diferenciamos las relaciones binarias homogéneas de las heterogéneas, en las primeras la relación binaria se establece entre los elementos de un único conjunto, por lo que en realidad lo que determina es su estructura interna, mientras que en las segundas se establecen relaciones entre dos conjuntos distintos, lo que da lugar a operaciones o funciones matemáticas de cálculo, una relación homogénea puede ser tratada como heterogénea con los mismos subtipos, pero no al contrario.

 

 

 

Relación homogénea

 

Una relación binaria entre dos conjuntos se llama homogénea si estos dos conjuntos son iguales:

 


   R (a,b): \;
   (a,b)\in A \times B
   \quad \land \quad
   A = B

 

Dado que A y B son el mismo conjunto, se suele representar:

 


   R (a,b): \;
   (a,b)\in A \times A

 

O bien:

 


   R (a,b): \;
   (a,b)\in A^2

 

Relación heterogénea

 

Una relación binaria entre dos conjuntos A y B, se llama heterogénea si A es distinto de B:2

 


   R (a,b): \;
   (a,b)\in A \times B
   \quad \land \quad
   A \ne B

 

Conceptos previos

 

Antes de afrontar el estudio de las relaciones binarias, veamos algunos conceptos que es necesario conocer:

 

Par ordenado

 

 

Las partes de un par ordenado son:

 

Primer conjunto

Primer componente
Segundo conjunto

Segundo componente

 

Del siguiente par ordenado (a, b) podemos decir que:

 

a es el primer componente del primer conjunto y;
b como el segundo componente del segundo conjunto.

 

Matemáticamente esto se expresa:

 


   A \times B =
   \{(x,y) \; | \quad
   x \in A \quad \land \quad
   y \in B \}

 

y se lee: El producto de A con B, es el conjunto de los pares ordenados (x,y) tales que x pertenece a A e y pertenece a B.

 

Producto cartesiano

 

 


  \begin{array}{|r|ccc|}
      \hline
               5 & (1,5) & (4,5) & (6,5) \\
               3 & (1,3) & (4,3) & (6,3) \\
               2 & (1,2) & (4,2) & (6,2) \\
      \hline
      A \times B &     1 &     4 &     6 \\
      \hline
   \end{array}

 

Definimos los conjuntos:

 

 A = \{1, 4, 6 \} \,
 B = \{2, 3, 5 \} \,

 

Obtenemos el producto cartesiano de A por B, colocando en una tabla los elementos del conjunto A en el eje horizontal y los de B en vertical, en la intersección colocamos los pares ordenados correspondientes, percatarse que en el par ordenado, en primer lugar se coloca el elemento de A, del eje horizontal y en segundo lugar el de B, del eje vertical.

 

La enumeración de los elementos, del conjunto de pares ordenados, seria el siguiente:

 


   A \times B = \{
     (1,2), (1,3), (1,5),
     (4,2), (4,3), (4,5),
     (6,2), (6,3), (6,5)
   \} \,

 

Relación binaria, subconjunto del producto cartesiano

 

Visto del producto cartesiano de A por B, podemos definir una relación binaria, por ejemplo: mayor que, que se puede expresar:

 


   R = \{(a,b) : \quad
   a \in A \quad \land \quad
   b \in B\ \quad \land \quad
   a > b \}

 

que por extensión resulta:

 


   R = \{ (4,2), (4,3), (6,2), (6,3), (6,5) \} \,

 

Donde los pares ordenados que definen la relación binaria son un subconjunto del producto cartesiano de los conjuntos.3

 


   R \subset A \times B

 

Esto último permite estimar el número de relaciones binarias entre dos conjuntos si:

 

\alpha = \mathrm{card}(A), \qquad \beta = \mathrm{card}(B)

 

enotonces el número de relaciones binarias posibles entre los conjuntos A y B viene dado por:

 

2^{\alpha\cdot\beta} \quad
(\Leftarrow \quad \mathrm{Rel}_{bin}\subset \mathcal{P}(A\times B))

 

Donde si alguno de los dos conjuntos es infinito el número anterior debe entenderse como un número transfinito.

 

 

 

Relación binaria homogénea

 

Como ya se definió antes, una relación binaria homogénea es la que se da entre los elementos de un único conjunto, llamando A al conjunto, tendríamos:

 


   R (a,b): \;
   (a,b)\in A^2

 

Si la Relación binaria es entre los elementos de un único conjunto, dado que los distintos tipos de relación que se pueden determinar entre sus elementos tomados de dos en dos, determina la estructura del conjunto, lo veremos con un ejemplo:

 

Relación binaria 11.svg

 

Dado el conjunto A:

 

 A = \{a, b, c, d \} \,

 

y la relación entre los elementos de este conjunto, representada en la figura, se puede ver que solo hay un conjunto, el A y que la relación entre los elementos es interior al conjunto, en este caso representado por las flechas.

 

R \subset A^2

 

En este caso podemos decir, como enumeración de las relaciones entre los elementos del conjunto A.

 

 a \mathcal{R} b \quad b \mathcal{R} c \quad c \mathcal{R} d
 d \mathcal{R} d \quad d \mathcal{R} b \quad b \mathcal{R} a

 

o como conjunto de pares ordenados:

 

 R = \{ (a,b),(b,c),(c,d),(d,d),(d,b),(b,a) \} \,

 

Relación binaria 12.svg

 

También podemos representar una relación binaria homogénea como una correspondencia de A sobre A:

 

 R: A \rightarrow A

 

Tomando como conjunto inicial al conjunto A y como final también el conjunto A, nos permite asociar un elemento inicial a otro final dentro de un mismo conjunto, determinando una operación matemática o función de cálculo y no una estructura interna, teniendo siempre en cuenta, que si bien el conjunto inicial y final son un mismo conjunto, la relación es unidireccional, y si el elemento a está relacionado con el b no implica, necesariamente, que el b lo este con el a.

 

En este caso el análisis de la relación binaria se hace según los distintos tipos de correspondencia con el mismo significado que en las relaciones heterogéneas

 

Representación de una relación binaria como subconjunto del producto cartesiano:

 

Dado el producto  A \times A de pares ordenados (x, y), donde x, y pertenecen a A, la relación binaria será el subconjunto de  A \times A que contiene todos los pares de elementos relacionados.

 

d (a, d) (b, d) (c, d) (d, d)
c (a, c) (b, c) (c, c) (d, c)
b (a, b) (b, b) (c, b) (d, b)
a (a, a) (b, a) (c, a) (d, a)
A×A a b c d

 

Si el producto  A \times A es:

 

 A \times A  = \{ \,  (a,a), \, (a,b), \, (a,c), \, (a,d),  
     (b,a), \, (b,b), \, (b,c), \, (b,d),  
     (c,a), \, (c,b), \, (c,c), \, (c,d),
     (d,a), \, (d,b), \, (d,c), \, (d,d)  \} \,

 

el conjunto R de la relación binaria se representa:

 

 R = \{ ( a, b ), ( b, a ), ( b, c ), ( c, d ), ( d, b ), ( d, d ) \} \,

 

Nótese que en el eje horizontal se representa el conjunto inicial, y en el eje vertical el conjunto final.

 

Propiedades de las relaciones binarias homogénea

 

Una relación binaria puede tener ciertas propiedades, según los pares ordenados que formen parte de dicha relación o no formen parte de ella, veamos algunas:

 

Propiedad reflexiva

 

 

Una relación tiene la propiedad reflexiva, si todo elemento esta relacionado consigo mismo, si no todos los elementos del conjunto están relacionados consigo mismo se dice que la relación no es reflexiva.

 


   \forall a \in A : \;
   (a,a) \in R

 

Para todo elemento a que pertenezca al conjunto A, el par ordenado (a,a) pertenece a la relación binaria R.

 

Téngase en cuenta que debe cumplirse para todos los elementos del conjunto sin excepción, si esta propiedad solo se da en algunos casos la relación no es reflexiva:

 


   \nexists a \in A : \;
   (a,a) \notin R

 

No existe ningún elemento a en A, para el que el par ordenado (a,a) no pertenezca a la relación R. Puede verse que estas dos afirmaciones son iguales.

 

Propiedad irreflexiva

 

 

Una relación binaria tiene la propiedad irreflexiva, también llamada: antirreflexiva o antirrefleja, si ningún elemento del conjunto esta relacionado consigo mismo:

 


   \forall a \in A : \;
   (a,a) \notin R

 

Que también puede expresarse

 


   \nexists a \in A : \;
   (a,a) \in R

 

No existe ningún elemento a en el conjunto A que cumpla que: (a,a) pertenezca a R.

 

Propiedad simétrica

 

 

Una relación binaria tiene la propiedad simétrica, si se cumple que un par ordenado (a,b) pertenece a la relación entonces el par (b,a) también pertenece a esa relación:

 


   \forall a, b \in A : \;
   (a,b) \in R
   \quad \longrightarrow \quad
   (b,a) \in R

 

Para todo par ordenado (a,b) que pertenezca a R, implica que el par (b,a) también pertenece a R, téngase en cuenta que si el par (a,b) no pertenece a la relación el par (b,a) tampoco tiene que pertenecer a esa relación:

 


   \nexists a, b \in A : \;
   (a,b) \in R
   \quad \land \quad
   (b,a) \notin R

 

No existe ningún par ordenado (a,b) que pertenezca a R y que el par (b,a) no pertenezca a R.

 

Propiedad antisimétrica

 

 

Una relación binaria se dice que tiene la propiedad antisimétrica si los pares ordenado (a,b) y (b,a) pertenecen a la relación entonces a = b:

 


   \forall a,b \in A : \;
   \Big (
      (a,b) \in R
      \quad \land \quad
      (b,a) \in R
   \Big )
   \quad \longrightarrow \quad
   a = b

 

Dicho de otra manera, no existen los elementos a, b distintos, y que a este relacionado con b y b este relacionado con a

 


   \nexists a, b \in A : \;
   (a,b) \in R
   \quad \land \quad
   (b,a) \in R
   \quad \land \quad
   a \ne b

 

Propiedad transitiva

 

 

Una relación binaria tiene la propiedad transitiva cuando, dado los elementos a, b, c del conjunto, si a esta relacionado con b y b esta relacionado con c, entonces a esta relacionado con c:

 


   \forall a, b, c \in A : \;
   \Big (
      (a,b) \in R
      \quad \land \quad
      (b,c) \in R
   \Big )
   \quad \longrightarrow \quad
   (a,c) \in R

 

Propiedad total

 

 

Una relación binaria se dice que es total: si para todo elemento del conjunto: a, b; o a esta relacionado con b ó b esta relacionado con a, esto es el grafo de la relación es conexo:

 


   \forall a, b \in A : \;
   (a,b) \in R
   \quad \lor \quad
   (b,a) \in R

 

Relación bien fundada

 

 

Dado un conjunto A y una relación R, entre los elementos de ese conjunto, esta relación se dice bien fundada, si para todo subconjunto B de A se cumple que existe un m en B tal que para todo b de B, y b distinto de m, el par ordenado (b,m) no pertenece a R.

 


   \forall B \subset A
   \; , \quad
   \exists m \in B
   \; : \quad
   \forall b \in B
   \; \land \;
   b \ne m
   \; : \quad
   (b,m) \notin R

 

Esto es para todo subconjunto B de A, existe un m en B, que es el elemento mínimo de ese subconjunto.

 

Clases de las relaciones binarias homogénea

 

Relación homogénea Relación reflexiva Relación no reflexiva Conjunto preordenado Relación de dependencia Conjunto parcialmente ordenado Relación de equivalencia Orden total Acotado

ClasiBinaEs 004.svg

Acerca de esta imagen

 

Partiendo de las propiedades que una relación binaria homogéneas puede tener, se pueden diferenciar algunas por su especial interés:

 

 

 

Relación reflexiva

 

La propiedad reflexiva de una relación binaria es el inicio para los casos más elaborados, téngase en cuenta que las relaciones binarias no reflexivas y las irreflexivas son casos muy particulares muy poco estudiados, por su poca importancia en los casos más generales.

 

Las relaciones reflexivas son las definidas así:

 

Dado un conjunto A, y una relación binaria R entre sus elementos


   R = 
   \{
      (a,b)\in \; A^2 
      : \quad
      R(a,b)
   \}

Se dice que esta relación binaria es relación reflexiva, si cumple:

1.- Relación reflexiva: la relación R es reflexiva si todo elemento a de A esta relacionado consigo mismo.


   \forall a \in A : \;
   (a,a) \in R

 

El caso más claro de propiedad reflexiva es la de igualdad matemática, así dado un conjunto de números, los naturales por ejemplo, y la propiedad de igualdad entre números, tenemos que todo número natural es igual a sí mismo.

 

RelaRef 01.svg

 

Dado un conjunto A, formado por los siguientes elementos:

 


   A =
   \{ a, b, c, d \} \;

 

Y una relación R entre los elementos del conjunto, definida así:

 


   \R =
   \Big \{
   (a,a), (a,b), (b,b), (b,c), (c,c), (d,b), (d,d)
   \Big \}

 

Podemos ver que los pares ordenados que tienen sus dos términos iguales pertenecen a la relación:

 


   (a,a) \in \R \quad
   (b,b) \in \R \quad
   (c,c) \in \R \quad
   (d,d) \in \R

 

Luego la relación R es reflexiva.

 

RelaRef 11.svg

 

La relación R, también se puede representar en coordenadas cartesianas la función identidad.

 

En el eje horizontal (ordenadas) representamos el conjunto inicial, de izquierda a derecha, y en el eje vertical(abscisas) el conjunto final, de abajo a arriba, si un determinado par pertenece a la relación se coloca una cruz en la casilla correspondiente, si no pertenece se deja en blando, representando de este modo en coordenadas cartesianas la relación binaria.

 

RelaRef 21.svg

 

En la diagonal principal, inferior izquierda, superior derecha, corresponde a los pares ordenados en los que sus dos elementos son iguales, si todas las casillas de esta diagonal tienen aspas, la relación es reflexiva

 

Como puede verse en el diagrama, la relación estudiada es reflexiva, dado que:

 

Para todo elemento e del conjunto A, el par ordenado (e,e) pertenece a la relación R.

 

En cualquiera de las tres formas de representación vistas: enumeración de pares ordenados, donde los pares (e,e) pertenecen a la relación, el diagrama sagital, con una flecha que sale y llega a cada elemento del conjunto, o en coordenadas cartesianas, donde hay cruces en la diagonal principal, en todos los casos se representa una relación reflexiva, en la que todo elemento del conjunto esta relacionado consigo mismo.

 

Relación no reflexiva

 

RelaRef 00.svg

 

Los casos más estudiados de relaciones binarias homogéneas son las que cumplen la propiedad reflexiva, una relación que no cumple la propiedad reflexiva es no reflexiva, un caso particular de relación no reflexiva son las relaciones irreflexivas, en las que ningún elemento del conjunto esta relacionado consigo mismo. Puede verse que si en una relación binaria algunos elementos están relacionados consigo mismo y otros no, la relación no es reflexiva y tampoco es irreflexiva. Ver diagrama:

 


   \mbox{Relaciones homogéneas}
   \begin{cases}
      { \color{Blue}\mbox{reflexivas}} \\
      \mbox{no reflexivas}
      \begin{cases}
         { \color{Red}\mbox{irreflexivas}}\\
         { \color{Green}\mbox{no reflexivas y no irreflexivas}}
      \end{cases}\\
   \end{cases}

 

Las relaciones irreflexivas son un caso particular de las no reflexivas.

 

Dado un conjunto A, y una relación binaria R entre sus elementos


   R = 
   \{
      (a,b)\in \; A^2 
      : \quad
      R(a,b)
   \}

Se dice que esta relación binaria es relación irreflexiva, si cumple:

1.- Relación irreflexiva: la relación R es irreflexiva si todo elemento a de A no esta relacionado consigo mismo.


   \forall a \in A : \;
   (a,a) \notin R

 

También podemos decir que una relación es irreflexiva si:

 


   \nexists a \in A
   \, : \quad
   (a,a) \in R

 

Una relación es irreflexiva si no existe un a en A que cumpla que a esta relacionado consigo mismo.

 

RelaRef 05.svg

 

Dado el conjunto:

 


   A =
   \{ a, b, c, d \} \,

 

y la relación entre los elementos de este conjunto:

 


   \R =
   \Big \{
   (a,b), (b,c), (d,b)
   \Big \}

 

Podemos ver que:

 


   (a,a) \notin \R \quad
   (b,b) \notin \R \quad
   (c,c) \notin \R \quad
   (d,d) \notin \R

 

Para todo elemento e del conjunto A, el par ordenado (e,e) no pertenece a la relación R, luego esta relación en irreflexiva.

 

RelaRef 25.svg

 

La representación de la relación en coordenadas cartesianas nos permite ver que la diagonal principal no tiene ninguna cruz, lo que es equivalente a la irrefrexibilidad de la relación.

 

La propiedad reflexiva e irreflexiva son mutuamente excluyentes en una misma relación, el cumplimiento de una de ellas da lugar al incumplimiento de la otra necesariamente, si una relación es reflexiva, tenemos que:

 


   \forall a \in A : \;
   (a,a) \in R

 

y si es irreflexiva, se cumple:

 


   \forall a \in A : \;
   (a,a) \notin R

 

Donde se ve claramente la incompatibilidad de las dos condiciones. El razonamiento contrario no es cierto dado que una relación binaria puede ser NO reflexiva y NO irreflexiva simultáneamente:

 

Una relación binaria es no reflexiva si:

 


   \exist a \in A
   \, : \quad
   (a,a) \notin R

 

Y una relación es no irreflexiva cuando:

 


   \exist a \in A
   \, : \quad
   (a,a) \in R

 

Estas dos condiciones son perfectamente compatibles, dando lugar a una relación binaria no reflexiva y no irreflexiva:

 


   \begin{cases}
      \exist a \in A \, : \quad (a,a) \notin R  \\
      \exist b \in A \, : \quad (b,b) \in R
   \end{cases}

 

veamos un ejemplo, dado el conjunto:

 


   A =
   \{ a, b, c, d \} \,

 

RelaRef 03.svg

 

En la que se ha definido la relación binaria:

 


   \R =
   \Big \{
   (a,a), (a,b), (b,c), (c,c), (d,b)
   \Big \}

 

Podemos ver que:

 


   (a,a) \in \R \quad
   (c,c) \in \R

 

Y también que:

 


   (b,b) \notin \R \quad
   (d,d) \notin \R

 

Luego la relación no es reflexiva y tampoco es irreflexiva.

 

RelaRef 23.svg

 

Si representamos la relación binaria en coordenadas cartesianas, podemos ver que en la diagonal principal no todas las casillas tienen un aspa, luego la relación no es reflexiva, y tampoco están todas en blanco luego tampoco es irreflexiva, esto es un relación binaria no reflexiva y no irreflexiva, al darse estas dos condiciones simultáneamente en una misma relación.

 

En resumen, podemos diferenciar tres clases de relaciones:

 

  • Relaciones reflexivas
  • Relaciones irreflexivas
  • Relaciones no reflexivas y no irreflexivas.

 

Dado, que como ya se ha mencionado, una relación no puede ser reflexiva e irreflexiva simultáneamente, pero si puede ser no reflexiva y no irreflexiva simultáneamente.

 

Relación de dependencia

 

 

Una relación binaria es una relación de dependencia si es reflexiva y simétrica:

 

Dado un conjunto A, y una relación binaria R entre sus elementos


   R = 
   \{
      (a,b)\in \; A^2 
      : \quad
      R(a,b)
   \}

Se dice que esta relación binaria es relación de dependencia, si cumple:

1.- Relación reflexiva: la relación R es reflexiva, si todo elemento a de A esta relacionado consigo mismo.


   \forall a \in A : \;
   (a,a) \in R

2.- Relación simétrica: la relación R es simétrica, si un elemento a esta relacionado con otro b, entonces el b también esta relacionado con el a.


   \forall a, b \in A : \;
   (a,b) \in R
   \quad \longrightarrow \quad
   (b,a) \in R

 

Así por ejemplo si consideramos el conjunto de los números naturales, y definimos la distancia D entre dos números, como el valor absoluto de su diferencia:

 


   \forall a, b \in \N : \;
   D= | a-b|

 

y decimos que dos números naturales a, b están próximos si su distancia es a lo sumo un valor D conocido, tenemos que la relación binaria de proximidad es:

 


   (a, b) \in R : \;
   (a, b) \in \N^2
   \quad \land \quad
   |a-b| \le D

 

es una relación de dependencia, dado que es reflexiva:

 


   \forall a \in \N : \;
   |a-a| \le D

 

es simétrica:

 


   \forall a, b \in \N : \;
   |a-b| \le D
   \quad \longrightarrow \quad
   |b-a| \le D

 

relación binaria de proximidad no es transitiva, dado que:

 


   \forall a, b, c \in \N : \;
   \Big (
       |a-b| \le D
      \quad \land \quad
       |b-c| \le D
   \Big )
   \quad \nrightarrow \quad
    |a-c| \le D

 

que la distancia entre a y b sea a lo sumo D y que la distancia entre b y c no supere D, no implica necesariamente que la distancia entre a y c no sea mayor que D. Esta relación de dependencia entre los números por su distancia no es una clase de equivalencia, pero si denota una dependencia entre ellos.

 

Conjunto preordenado

 

 

Una relación binaria define un conjunto preordenado si es reflexiva y transitiva:

 

 

 

Dado un conjunto A, y una relación binaria R entre sus elementos


   R = 
   \{
      (a,b)\in \; A^2 
      : \quad
      R(a,b)
   \}

Se dice que esta relación binaria define un conjunto preordenado, si cumple:

1.- Relación binaria reflexiva: la relación R es reflexiva si todo elemento a de A esta relacionado consigo mismo.


   \forall a \in A : \;
   (a,a) \in R

2.- Relación binaria transitiva: la relación R es transitiva si un elemento a esta relacionado con otro b, y este b con otro c, entonces el elemento a esta también relacionado con el c.


   \forall a, b, c \in A : \;
   \Big (
      (a,b) \in R
      \quad \land \quad
      (b,c) \in R
   \Big )
   \longrightarrow \quad
   (a,c) \in R

 

Relación de equivalencia

 

 

Una relación binaria es una relación de equivalencia si es reflexiva, simétrica y transitiva:4

 

 

 

Dado un conjunto A, y una relación binaria R entre sus elementos


   R = 
   \{
      (a,b)\in \; A^2 
      : \quad
      R(a,b)
   \}

Se dice que esta relación binaria es relación de equivalencia, si cumple:

1.- Relación reflexiva: la relación R es reflexiva si todo elemento a de A esta relacionado consigo mismo.


   \forall a \in A : \;
   (a,a) \in R

2.- Relación simétrica: la relación R es simétrica si un elemento a esta relacionado con otro b, entonces el b también esta relacionado con el a.


   \forall a, b \in A : \;
   (a,b) \in R
   \longrightarrow \quad
   (b,a) \in R

3.- Relación transitiva: la relación R es transitiva si un elemento a esta relacionado con otro b, y este b con otro c, entonces el elemento a esta también relacionado con el c.


   \forall a, b, c \in A : \;
   \Big (
      (a,b) \in R
      \quad \land \quad
      (b,c) \in R
   \Big )
   \longrightarrow \quad
   (a,c) \in R

 

Una relación de equivalencia define dentro del conjunto A lo que se denominan, Clases de equivalencia, una clase de equivalencia o familia de elementos es cada uno de los subconjuntos en que la relación de equivalencia divide al conjunto A, entre ellos son disjuntos, y la unión de todos ellos es el conjunto A, veamos un ejemplo.

 

En Aritmética modular se define la operación modulo como el resto de la división, así:

 


   5 \mathit{\; M \acute{o} d \;} 2 = 1

   6 \mathit{\; M \acute{o} d \;} 3 = 0

   7 \mathit{\; M \acute{o} d \;} 3 = 1

 

el resto de dividir 5 entre 2 es 1
el resto de dividir 6 entre 3 es 0
el resto de dividir 7 entre 3 es 1

 

se dice que dos números son congruentes modulo n, si al dividir cada uno de esos números por n dan el mismo resto:

 


   8 \equiv 17 \quad ( \mathit{ M \acute{o} d \;} 3)

 

el 8 y el 17 son congruentes modulo 3 dado que al dividirlos por 3 en los dos casos dan por resto 2.

 

La congruencia modular de grado n, de los números naturales, es una Relación de equivalencia, dado que es reflexiva:

 


   \forall a \in \N : \;
   a \equiv a \quad ( \mathit{ M \acute{o} d \;} n)

 

es simétrica:

 


   \forall a, b \in \N : \;
   a \equiv b \quad ( \mathit{ M \acute{o} d \;} n)
   \longrightarrow \quad
   b \equiv a \quad ( \mathit{ M \acute{o} d \;} n)

 

y es transitiva

 


   \forall a, b, c \in \N : \;
   \Big (
      a \equiv b \quad ( \mathit{ M \acute{o} d \;} n)
      \quad \land \quad
      b \equiv c \quad ( \mathit{ M \acute{o} d \;} n)
   \Big )
   \longrightarrow \quad
   a \equiv c \quad ( \mathit{ M \acute{o} d \;} n)

 

Conjunto parcialmente ordenado

 

 

Un conjunto A se dice que esta parcialmente ordenado respecto a una relación binaria R si la relación R es reflexiva, transitiva y antisimétrica:

 

Dado un conjunto A, y una relación binaria R entre sus elementos


   R = 
   \{ (a,b)\in \; A^2 : \quad R(a,b) \}

Se dice que esta relación binaria define un conjunto parcialmente ordenado, si cumple:

1.- Relación reflexiva: la relación R es reflexiva si todo elemento a de A esta relacionado consigo mismo.


   \forall a \in A : \;
   (a,a) \in R

2.- Relación transitiva: la relación R es transitiva si un elemento a esta relacionado con otro b, y este b con otro c, entonces el elemento a esta también relacionado con el c.


   \forall a, b, c \in A : \;
   \Big (
      (a,b) \in R
      \quad \land \quad
      (b,c) \in R
   \Big )
   \longrightarrow \quad
   (a,c) \in R

3.- Relación antisimétrica: la relación R es antisimétrica si los pares ordenado (a,b) y (b,a) pertenecen a la relación R , entonces a y b son iguales.


   \forall a,b \in A : \;
   \Big (
      (a,b) \in R
      \quad \land \quad
      (b,a) \in R
   \Big )
   \longrightarrow \quad
   a = b

 

Tomando un conjunto A, formado, por ejemplo, por los elementos:

 


   A = \{ a, b, c \} \;

 

Se define el Conjunto potencia de A como el formado por todos los subconjuntos de A:

 


   P (A) =
   \Big\{
      \{\}, \{a\}, \{b\}, \{c\},
      \{a,b\}, \{a,c\}, \{b,c\}, \{a,b,c \} 
   \Big\}

 

A cada uno de estos subconjuntos los llamamos:

 


   A_1 = \{ \} \;

   A_2 = \{a\} \;

   A_3 = \{b\} \;

   A_4 = \{c\} \;

   A_5 = \{a, b\} \;

   A_6 = \{a, c\} \;

   A_7 = \{b, c\} \;

   A_8 = \{a, b, c\} \;

 

Y tomando dos de estos subconjuntos decimos que están relacionados por pertenencia si el primero es Subconjunto del segundo:

 


   R = 
   \Big\{
      (A_i , A_j )\in \; P (A)
      : \quad
      A_i \subseteq A_j
   \Big\}

 

La relación pertenencia entre los conjuntos potencia de A, es un conjunto parcialmente ordenado, al ser reflexiva:

 


   \forall A_i \in P (A) : \;
   A_i \subseteq A_i

 

Transitiva:

 


   \forall A_i, A_j, A_k \in P (A) : \;
   \Big (
      A_i \subseteq A_j
      \quad \land \quad
      A_j \subseteq A_k
   \Big )
   \longrightarrow \quad
    A_i \subseteq A_k

 

Antisimetrica:

 


   \forall A_i, A_j \in P (A) : \;
   \Big ( 
      A_i \subseteq A_j
      \quad \land \quad
      A_j \subseteq A_i
   \Big )
   \longrightarrow \quad
   A_i = A_j

 

Por lo que el conjunto de las partes de A, respecto a la relación binaria pertenencia es un conjunto parcialmente ordenado.

 

Esta relación no es total dado que:

 


   \neg\forall (A_i, A_j) \in P (A) : \;
   A_i \subseteq A_j
   \quad \lor \quad
   A_j \subseteq A_i

 

Que se denominan no comparables, los pares de conjuntos no comparables son:

 

OrdenParcial.svg

 


   1. \;
   \Big(\{a\}, \{b\} \Big) \notin R
   \; : \quad 
   \{a\} \nsubseteq \{b\}
   \; \land \;
   \{b\} \nsubseteq \{a\}

   2. \;
   \Big( \{a\}, \{c\} \Big) \notin R
   \; :\quad
   \{a\} \nsubseteq \{c\}
   \; \land \;
   \{c\} \nsubseteq \{a\}

   3. \;
   \Big( \{b\}, \{c\} \Big) \notin R
   \; :\quad
   \{b\} \nsubseteq \{c\}
   \; \land \;
   \{c\} \nsubseteq \{b\}

   4. \;
   \Big( \{a\}, \{b, c\} \Big) \notin R
   \; : \quad
   \{a\} \nsubseteq \{b, c\}
   \; \land \;
   \{b, c\} \nsubseteq \{a\}

   5. \;
   \Big( \{b\}, \{a, c\} \Big) \notin R
   \; : \quad
   \{b\} \nsubseteq \{a, c\}
   \; \land \;
   \{a, c\} \nsubseteq \{b\}

   6. \;
   \Big( \{c\}, \{a, b\} \Big) \notin R
   \; : \quad
   \{c\} \nsubseteq \{a, b\}
   \; \land \;
   \{a, b\} \nsubseteq \{c\}

   7. \;
   \Big( \{a, b\}, \{a, c\} \Big) \notin R
   \; : \quad
   \{a, b\} \nsubseteq \{a, c\}
   \; \land \;
   \{a, c\} \nsubseteq \{a, b\}

   8. \;
   \Big( \{a, b\}, \{b, c\} \Big) \notin R
   \; : \quad
   \{a, b\} \nsubseteq \{b, c\}
   \; \land \;
   \{b, c\} \nsubseteq \{a, b\}

   9. \;
   \Big( \{a, c\}, \{b, c\} \Big) \notin R
   \; : \quad
   \{a, c\} \nsubseteq \{b, c\}
   \; \land \;
   \{b, c\} \nsubseteq \{a, c\}

 

A la vista del diagrama, los conjuntos que se pueden alcanzar siguiendo el sentido de las flechas se denominan comparables y determinan la estructura del orden parcial.

 

Orden total

 

 

Un conjunto A se dice que esta totalmente ordenado respecto a una relación binaria R si la relación R es reflexiva, transitiva, antisimétrica y total:

 

 

 

Dado un conjunto A, y una relación binaria R entre sus elementos


   R = 
   \{
      (a,b)\in \; A^2 
      : \quad
      R(a,b)
   \}

Se dice que esta relación binaria define un orden total, si cumple:

1.- Relación reflexiva: la relación R es reflexiva si todo elemento a de A esta relacionado consigo mismo.


   \forall a \in A : \;
   (a,a) \in R

2.- Relación transitiva: la relación R es transitiva si un elemento a esta relacionado con otro b, y este b con otro c, entonces el elemento a esta también relacionado con el c.


   \forall a, b, c \in A : \;
   \Big (
      (a,b) \in R
      \quad \land \quad
      (b,c) \in R
   \Big )
   \longrightarrow \quad
   (a,c) \in R

3.- Relación antisimétrica: la relación R es antisimétrica si los pares ordenado (a,b) y (b,a) pertenecen a la relación R , entonces a y b son iguales.


   \forall a,b \in A : \;
   \Big (
      (a,b) \in R
      \quad \land \quad
      (b,a) \in R
   \Big )
   \longrightarrow \quad
   a = b

4.- Relación total: la relación R es total si para cualquiera dos elemento del conjunto: a, b; o a esta relacionado con b ó bien b esta relacionado con a.


   \forall a, b \in A : \;
   (a,b) \in R
   \quad \lor \quad
   (b,a) \in R

 

Si tomamos el conjunto de los números enteros Z, por ejemplo, respecto a la relación binaria entre sus elementos menor o igual, podemos ver que es reflexiva:

 


   \forall a \in \Z : \;
   a \le a

 

es transitiva:

 


   \forall a, b, c \in \Z : \;
   \Big (
      a \le b
      \quad \land \quad
      b \le c
   \Big )
   \longrightarrow \quad
 a \le c

 

es antisimetrica:

 


   \forall a,b \in \Z : \;
   \Big (
      a \le b
      \quad \land \quad
      b \le a
   \Big )
   \longrightarrow \quad
   a = b

 

y es total:

 


   \forall a, b \in \Z : \;
   a \le b
   \quad \lor \quad
   b \le a

 

Conjunto bien ordenado

 

 

Dado un conjunto A y una relación R, entre los elementos de ese conjunto, se dice que es un conjunto bien ordenado si cumple:

 

 

 

Dado un conjunto A, y una relación binaria R entre sus elementos


   R = 
   \{
      (a,b)\in \; A^2 
      : \quad
      R(a,b)
   \}

Se dice que esta relación binaria define un conjunto bien ordenado, si cumple:

1.- Relación reflexiva: la relación R es reflexiva si todo elemento a de A esta relacionado consigo mismo.


   \forall a \in A : \;
   (a,a) \in R

2.- Relación transitiva: la relación R es transitiva si un elemento a esta relacionado con otro b, y este b con otro c, entonces el elemento a esta también relacionado con el c.


   \forall a, b, c \in A : \;
   \Big (
      (a,b) \in R
      \quad \land \quad
      (b,c) \in R
   \Big )
   \longrightarrow \quad
   (a,c) \in R

3.- Relación antisimétrica: la relación R es antisimétrica si los pares ordenado (a,b) y (b,a) pertenecen a la relación R , entonces a y b son iguales.


   \forall a,b \in A : \;
   \Big (
      (a,b) \in R
      \quad \land \quad
      (b,a) \in R
   \Big )
   \longrightarrow \quad
   a = b

4.- Relación total: la relación R es total si para cualquiera dos elemento del conjunto: a, b; o a esta relacionado con b ó bien b esta relacionado con a.


   \forall a, b \in A : \;
   (a,b) \in R
   \quad \lor \quad
   (b,a) \in R

5.- Relación bien fundada: dado un conjunto A y una relación R, entre los elementos de ese conjunto, esta relación se dice bien fundada, si para todo subconjunto B de A se cumple que existe un m en B tal que para todo b de B, distinto de m, el par ordenado (b,m) no pertenece a R.


   \forall B \subset A
   \; , \quad
   \exists m \in B
   \; : \quad
   \forall b \in B
   \; \land \;
   b \ne m
   \; : \quad
   (b,m) \notin R

 

Relación binaria heterogénea

 

 

Correspon 0102.svg

 

Una relación binaria entre dos conjuntos A y B, se llama heterogénea cuando A es distinto de B:

 


   R (a,b): \;
   (a,b) \in A \times B
   \quad \land \quad
   A \ne B

 

Lo que también se llama correspondencia matemática.5 6

 

A la derecha podemos ver lo que se denomina un diagrama sagital, en el cual se representan los dos conjuntos de la relación binaria, asociando los elementos de uno y otro conjunto con una flecha, que sale del elemento origen y llega al elemento imagen, en el diagrama pueden verse un conjunto de pinceles con pintura de color y un conjunto de caras pintadas, asociando a cada pincel la cara que esta pintada del mismo color.

 

Correspon 32.svg

 

Puede haber pinceles o caras del mismo color, pero deben ser considerados como elementos distintos del conjunto, si dos pinceles o dos caras son del mismo color tienen la misma característica color, siendo elementos del conjunto diferentes.

 

En el diagrama podemos ver el conjunto inicial de pinceles P, sobre el que esta definida la relación:

 

 P = \{ \, Correspon P2.svg, Correspon P2.svg, Correspon P4.svg, Correspon P1.svg  \} \,

 

Solo algunos elementos del conjunto origen tienen asociado un elemento, estos elementos forman el conjunto origen:

 

 O = \{ \, Correspon P2.svg, Correspon P2.svg, Correspon P1.svg  \} \,

 

Y el conjunto final de caras pintadas C es:

 

 C = \{ \, Correspon C0.svg, Correspon C2.svg, Correspon C1.svg, Correspon C1.svg  \} \,

 

Los elementos del conjunto final a los que se les ha asociado un origen se llama conjunto imagen:

 

 I = \{ \, Correspon C2.svg, Correspon C1.svg, Correspon C1.svg  \} \,

 

La relación binaria es la formada por los pares ordenados:

 

 R =\, \{(  Correspon P2.svg, Correspon C2.svg  ) , \, (  Correspon P2.svg, Correspon C2.svg  ) , \, (  Correspon P1.svg, Correspon C1.svg  ) , \, (  Correspon P1.svg, Correspon C1.svg  ) \}\,

 

Una relación binaria homogénea:

 


   R (a,b): \;
   (a,b)\in A \times A

 

Puede ser tratada como heterogénea considerando el conjunto inicial y final como distintos, si lo que se está tratando es una correspondencia, con la misma validez que si los conjuntos serían distintos, pudiendo realizar simultáneamente su análisis como relación homogénea, si es factible.

 

Propiedades de las relaciones binarias heterogénea

 

Correspondencia matemática Correspondencia unívoca Correspondencia biunívoca Aplicación matemática Aplicación sobreyectiva Aplicación inyectiva Aplicación biyectiva Unicidad de imagen Unicidad de origen Existencia de imagen Existencia de origen

ClasiBinaEs 219.svg

Acerca de esta imagen

 

Partiendo de una relación binarias heterogénea R, entre los conjunto A y B:

 


   R: A \rightarrow B

 

Por su importancia podemos distinguir las siguientes condiciones, que nos permiten diferenciar los subtipos de correspondencias.

 

 

 

Condición de existencia de imagen. (ei)

 

Correspon 1002.svg

 

La condición de existencia de imagen garantiza que tomando un elemento cualesquiera a de A tiene al menos una imagen b en B.

 


   \forall a \in A: \;
   \exists b \in B
   \quad \land \quad
   (a,b)\in R.

 

para todo elemento a de A se cumple que existe al menos un b de B, a y b estén relacionado.

 

En la figura podemos ver el conjunto P de los pinceles:

 

 P = \{ \, Correspon P2.svg, Correspon P4.svg  \} \,

 

y el C de las caras pintada:

 

 C = \{ \, Correspon C1.svg, Correspon C2.svg, Correspon C4.svg, Correspon C4.svg  \} \,

 

Si relacionamos cada pincel con la cara pintada del mismo color, podemos ver que todos los pinceles tienen al menos una cara asociada.

 

Condición de existencia de origen. (eo)

 

Correspon 0702.svg

 

La condición de existencia de origen garantiza que todo elemento b de B tiene al menos un origen a en A.

 


   \forall b \in B: \;
   \exists a \in A
   \quad \land \quad
   (a,b)\in R.

 

para todo b de B se cumple que existe un a en A y que a y b están relacionados.

 

Si vemos la figura podemos ver el conjunto P de pinceles con pintura:

 

 P = \{ \, Correspon P0.svg, Correspon P4.svg, Correspon P4.svg, Correspon P1.svg  \} \,

 

y el conjunto C de caras pintada:

 

 C = \{ \, Correspon C0.svg, Correspon C4.svg  \} \,

 

Y que todas y cada una de las caras tiene al menos un pincel de su mismo color. Cada uno de los elementos del conjunto final tiene un origen.

 

Condición de unicidad de imagen. (ui)

 

Correspon 0502.svg

 

La condición de unicidad de imagen garantiza que los elementos a de A que están relacionados con algún b de B está relacionado con un único elemento b de B, es decir:

 


   \Big (
      (a,b_1)\in R
      \quad \and \quad
      (a,b_2) \in R
   \Big )
   \longrightarrow \quad 
   b_1 = b_2.

 

si un elemento a de A esta relacionado con dos elementos b de B esos dos elementos son iguales.

 

Condición de unicidad de imagen garantiza que los elementos que tienen imagen tengan una sola imagen, pero no garantiza que todos los elementos de A tengan imagen, esta diferencia es importante.

 

En el diagrama sagital de la derecha vemos el conjunto P:

 

 P = \{ \, Correspon P0.svg, Correspon P2.svg, Correspon P2.svg, Correspon P1.svg  \} \,

 

Y el conjunto final C, de caras pintada:

 

 C = \{ \, Correspon C0.svg, Correspon C2.svg, Correspon C4.svg  \} \,

 

Los pinceles que tienen una cara relacionada, tienen una sola cara relacionada.

 

Condición de unicidad de origen. (uo)

 

Correspon 0202.svg

 

La condición de unicidad de origen dice: que los elementos b de B que están relacionados con algún a de A está relacionado solo con un único elemento a de A, es decir:

 


   \Big (
      (a_1,b)\in R
      \quad \and \quad
      (a_2,b) \in R
   \Big )
   \longrightarrow \quad 
   a_1 = a_2.

 

En el diagrama tenemos el conjunto inicial P de pinceles con pintura de colores:

 

 P = \{ \, Correspon P0.svg, Correspon P2.svg, Correspon P4.svg, Correspon P1.svg  \} \,

 

y el conjunto final C de caras pintadas:

 

 C = \{ \, Correspon C5.svg, Correspon C2.svg, Correspon C4.svg, Correspon C4.svg  \} \,

 

Relacionando cada pincel con la cara de su mismo color, podemos ver que las caras que tienen un pincel relacionado, solo tienen un pincel relacionado, esto es un solo origen, no todas las caras tienen un origen, pero las que lo tienen, tienen un solo origen.

 

Galería de ejemplos

 

Según las cuatro condiciones expuestas, cada una de ellas independiente de las demás, podemos ver una serie de ejemplos ilustrativos de los casos que se pueden presentar.

 

Utilizaremos como conjunto inicial el conjunto de tubos de pintura T, y como conjunto final el de pinceles P, asociando cada tubo de pintura con el pincel del mismo color.

 

Correspon 0101.svg
Correspondencia
Existencia imagen: no
Unicidad imagen: no
Existencia origen: no
Unicidad origen: no
Correspon 0301.svg
Correspondencia
Existencia imagen: si
Unicidad imagen: no
Existencia origen: no
Unicidad origen: no
Correspon 0201.svg
C. Unívoca
Existencia imagen: no
Unicidad imagen: si
Existencia origen: no
Unicidad origen: no
Correspon 0401.svg
Aplicación
Existencia imagen: si
Unicidad imagen: si
Existencia origen: no
Unicidad origen: no
Correspon 0901.svg
Correspondencia
Existencia imagen: no
Unicidad imagen: no
Existencia origen: si
Unicidad origen: no
Correspon 1101.svg
Correspondencia
Existencia imagen: si
Unicidad imagen: no
Existencia origen: si
Unicidad origen: no
Correspon 1001.svg
C. Unívoca
Existencia imagen: no
Unicidad imagen: si
Existencia origen: si
Unicidad origen: no
Correspon 1201.svg
A. Sobreyectiva
Existencia imagen: si
Unicidad imagen: si
Existencia origen: si
Unicidad origen: no
Correspon 0501.svg
Correspondencia
Existencia imagen: no
Unicidad imagen: no
Existencia origen: no
Unicidad origen: si
Correspon 0701.svg
Correspondencia
Existencia imagen: si
Unicidad imagen: no
Existencia origen: no
Unicidad origen: si
Correspon 0601.svg
C. Biunívoca
Existencia imagen: no
Unicidad imagen: si
Existencia origen: no
Unicidad origen: si
Correspon 0801.svg
A. Inyectiva
Existencia imagen: si
Unicidad imagen: si
Existencia origen: no
Unicidad origen: si
Correspon 1301.svg
Correspondencia
Existencia imagen: no
Unicidad imagen: no
Existencia origen: si
Unicidad origen: si
Correspon 1501.svg
Correspondencia
Existencia imagen: si
Unicidad imagen: no
Existencia origen: si
Unicidad origen: si
Correspon 1401.svg
C. Biunívoca
Existencia imagen: no
Unicidad imagen: si
Existencia origen: si
Unicidad origen: si
Correspon 1601.svg
A. Biyectiva
Existencia imagen: si
Unicidad imagen: si
Existencia origen: si
Unicidad origen: si

 

Clases de las relaciones binarias heterogénea

 

Correspondencia matemática Correspondencia unívoca Correspondencia biunívoca Aplicación matemática Aplicación sobreyectiva Aplicación inyectiva Aplicación biyectiva

ClasiBinaEs 003.svg

Acerca de esta imagen

 

Partiendo de las características de las relaciones binarias heterogéneas, podemos diferenciar los siguientes casos.

 

 

 

Correspondencia unívoca

 

 

Una correspondencia es unívoca si cumple la condición de unicidad de imagen:

 

Dada una relación binarias heterogénea R, entre los conjunto A y B:


   R: A \rightarrow B

Esta relación es una correspondencia unívoca, si cumple:

1.- Unicidad de imagen: se dice que cumple la condición de unicidad de imagen si los elementos a de A que tienen imagen, tienen una sola imagen:


   \Big (
      (a,b_1)\in R
      \quad \and \quad
      (a,b_2) \in R
   \Big )
   \quad \longrightarrow \quad 
   b_1 = b_2.

 

Esta condición en necesaria y suficiente para que una correspondencia sea considerada unívoca.

 

Correspondencia biunívoca

 

 

Una correspondencia es biunívoca si cumple las condiciones de unicidad de imagen y unicidad de origen:

 

Dada una relación binarias heterogénea R, entre los conjunto A y B:


   R: A \rightarrow B

Esta relación es una correspondencia biunívoca, si cumple:

1.- Unicidad de imagen: se dice que cumple la condición de unicidad de imagen si los elementos a de A que tienen imagen, tienen una sola imagen:


   \Big (
      (a,b_1)\in R
      \quad \and \quad
      (a,b_2) \in R
   \Big )
   \quad \longrightarrow \quad 
   b_1 = b_2.

2.- Unicidad de origen: se dice que cumple la condición de unicidad de origen si los elementos b de B que tienen origen, tienen un solo origen:


   \Big (
      (a_1,b)\in R
      \quad \and \quad
      (a_2,b) \in R
   \Big )
   \quad \longrightarrow \quad 
   a_1 = a_2.

 

Aplicación

 

 

Una correspondencia R: A \to B se denomina aplicación si todo elemento de A admite una única imagen en B. 7 8 9 10 11 12 , esto es si cumple la condición de unicidad de imagen y de existencia de imagen.

 

Una aplicación f de A en B, siendo A y B dos conjuntos cualesquiera, es una correspondencia entre A y B, total y unívoca. 13 según otra nomenclatura.

 

Si la aplicación la representamos como R, tendremos:

 


   \begin{array}{rcl}
      R : \; A & \to & B       \\
      a        & \to & b = R(a)
   \end{array}

 

por la que definimos una aplicación que a cada elemento a de A se le asigna un único b de B.

 


   \forall a \in A
   \, : \quad
   \exists !  b \in B
   \; / \quad
   b = R(a)

 

Para todo a de A, se cumple que existe un único b de B, tal que b es el resultado R(a).

 

El término función se suele utilizar cuando los conjuntos inicial y final son numéricos.14

 

Una función es el término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades.15

 

 

 

Dada una relación binarias heterogénea R, entre los conjunto A y B:


   R: A \rightarrow B

Esta relación es una aplicación, si cumple:

1.- Unicidad de imagen: se dice que cumple la condición de unicidad de imagen si los elementos a de A que tienen imagen, tienen una sola imagen:


   \Big (
      (a,b_1)\in R
      \quad \and \quad
      (a,b_2) \in R
   \Big )
   \quad \longrightarrow \quad 
   b_1 = b_2.

2.- Existencia de imagen: se dice que cumple la condición de existencia de imagen si para todos los elementos a de A existe al menos una imagen b en B:


   \forall a \in A: \;
   \exists b \in B
   \quad \land \quad
   (a,b)\in R.

 

Si una correspondencia cumple estas dos condiciones se denomina aplicación.

 

Aplicación inyectiva

 

 

Una correspondencia es una aplicación inyectiva si cumple la condición de unicidad de imagen, existencia de imagen y unicidad de origen.

 

Dada una relación binarias heterogénea R, entre los conjunto A y B:


   R: A \rightarrow B

Esta relación es una aplicación inyectiva, si cumple:

1.- Unicidad de imagen: se dice que cumple la condición de unicidad de imagen si los elementos a de A que tienen imagen, tienen una sola imagen:


   \Big (
      (a,b_1)\in R
      \quad \and \quad
      (a,b_2) \in R
   \Big )
   \quad \longrightarrow \quad 
   b_1 = b_2.

2.- Existencia de imagen: se dice que cumple la condición de existencia de imagen si para todos los elementos a de A existe al menos una imagen b en B:


   \forall a \in A: \;
   \exists b \in B
   \quad \land \quad
   (a,b)\in R.

3.- Unicidad de origen: se dice que cumple la condición de unicidad de origen si los elementos b de B que tienen origen, tienen un solo origen:


   \Big (
      (a_1,b)\in R
      \quad \and \quad
      (a_2,b) \in R
   \Big )
   \quad \longrightarrow \quad 
   a_1 = a_2.

 

Como puede verse una aplicación que cumple la condición de unicidad de origen es una Aplicación inyectiva.

 

De otra forma no tan usual, podemos decir que una correspondencia biunívoca que cumpla la condición de existencia de imagen también es una aplicación inyectiva.

 

Aplicación sobreyectiva

 

 

Una correspondencia se llama Aplicación sobreyectiva si cumple la condición de unicidad de imagen, existencia de imagen y existencia de origen:

 

Dada una relación binarias heterogénea R, entre los conjunto A y B:


   R: A \rightarrow B

Esta relación es una aplicación sobreyectiva, si cumple:

1.- Unicidad de imagen: se dice que cumple la condición de unicidad de imagen si los elementos a de A que tienen imagen, tienen una sola imagen:


   \Big (
      (a,b_1)\in R
      \quad \and \quad
      (a,b_2) \in R
   \Big )
   \quad \longrightarrow \quad 
   b_1 = b_2.

2.- Existencia de imagen: se dice que cumple la condición de existencia de imagen si para todos los elementos a de A existe al menos una imagen b en B:


   \forall a \in A: \;
   \exists b \in B
   \quad \land \quad
   (a,b)\in R.

3.- Existencia de origen: se dice que cumple la condición de existencia de origen si para todos los elementos b de B existe al menos un origen a en A:


   \forall b \in B: \;
   \exists a \in A
   \quad \land \quad
   (a,b)\in R.

 

Se puede decir que una aplicación sobreyectiva, es una aplicación que cumple la condición de existencia de origen.

 

Aplicación biyectiva

 

 

Una correspondencia es una aplicación biyectiva si cumple las condiciones de unicidad de imagen, existencia de imagen, unicidad de origen y existencia de origen:

 

Dada una relación binarias heterogénea R, entre los conjunto A y B:


   R: A \rightarrow B

Esta relación es una aplicación biyectiva, si cumple:

1.- Unicidad de imagen: se dice que cumple la condición de unicidad de imagen si los elementos a de A que tienen imagen, tienen una sola imagen:


   \Big (
      (a,b_1)\in R
      \quad \and \quad
      (a,b_2) \in R
   \Big )
   \quad \longrightarrow \quad 
   b_1 = b_2.

2.- Existencia de imagen: se dice que cumple la condición de existencia de imagen si para todos los elementos a de A existe al menos una imagen b en B:


   \forall a \in A: \;
   \exists b \in B
   \quad \land \quad
   (a,b)\in R.

3.- Unicidad de origen: se dice que cumple la condición de unicidad de origen si los elementos b de B que tienen origen, tienen un solo origen:


   \Big (
      (a_1,b)\in R
      \quad \and \quad
      (a_2,b) \in R
   \Big )
   \quad \longrightarrow \quad 
   a_1 = a_2.

4.- Existencia de origen: se dice que cumple la condición de existencia de origen si para todos los elementos b de B existe al menos un origen a en A:


   \forall b \in B: \;
   \exists a \in A
   \quad \land \quad
   (a,b)\in R.

 

Una Aplicación es biyectiva, si es inyectiva y sobreyectiva.

 

Propiedades

 

Las relaciones binarias pueden tener o no estas propiedades. R será:

 

Relación simétrica  \forall a,b\in A,\; (a,b)\in R \Rightarrow (b,a)\in R
Relación antisimétrica  \forall a,b\in A,\; (a,b)\in R \; \land \; a \neq b \Rightarrow (b,a) \notin R
Relación reflexiva  \forall a\in A,\; (a,a)\in R
Relación irreflexiva  \forall a\in A,\; (a,a)\notin R
Relación transitiva  \forall a,b,c\in A,\; (a,b)\in R \; \land \; (b,c)\in R  \Rightarrow (a,c)\in R
Relación intransitiva  \forall a,b,c\in A,\; (a,b)\in R \; \land \; (b,c)\in R  \Rightarrow (a,c)\notin R
Relación circular  \forall a,b,c\in A,\; (a,b)\in R \; \land \; (b,c)\in R  \Rightarrow (c,a)\in R
Relación total  \forall a, b \in A: \quad a R b \quad \or \quad b R a

par ordenado

Par ordenado

 

Ejemplos de ocho puntos localizados en el plano cartesiano mediante pares ordenados.

 

En matemáticas, un par ordenado es una pareja de objetos matemáticos, en la que se distingue un primer elemento y un segundo elemento. El par ordenado cuyo primer elemento es a y cuyo segundo elemento es b se denota como (a, b).

 

Un par ordenado (a, b) no es el conjunto que contiene a a y b, denotado por {a, b}. Un conjunto está definido únicamente por sus elementos, mientras que en un par ordenado el orden de estos es también parte de su definición. Por ejemplo, los conjuntos {0, 1} y {1, 0} son idénticos, pero los pares ordenados (0, 1) y (1, 0) son distintos.

 

Los pares ordenados también se denominan 2-tuplas o vectores 2-dimensionales. La noción de una colección finita de objetos ordenada puede generalizarse a más de dos objetos, dando lugar al concepto de n-tupla.

 

El producto cartesiano de conjuntos, las relaciones binarias, las coordenadas cartesianas, las fracciones y las funciones se definen en términos de pares ordenados.

Producto cartesiano

Dados dos conjuntos X e Y, la colección de todos los pares ordenados (x, y), formados con un primer elemento en X y un segundo elemento en Y, se denomina el producto cartesiano de X e Y, y se denota X × Y. El producto cartesiano de conjuntos permite definir relaciones y funciones.

Generalizaciones

Es habitual trabajar con colecciones ordenadas de más de dos objetos, sin más que extender la definición del par ordenado. Por ejemplo, un trío ordenado o terna ordenada es una terna de objetos matemáticos en la que se distinguen un primer, segundo y tercer elemento. La propiedad principal de un trío ordenado es entonces:

(a_1, a_2, a_3) = (b_1, b_2, b_3) \text{ si y solo si } a_1 = b_1 , \ a_2 = b_2 \text{ y } a_3 = b_3

En general se puede adoptar una definición similar para un número cualquiera de elementos n, dando lugar así a una n-tupla.

Construcción

La propiedad característica de igualdad entre pares ordenados es su única propiedad relevante para su uso en matemáticas.1 Sin embargo, en teoría de conjuntos se construyen todos los objetos matemáticos a partir de conjuntos: números, funciones, etc. En este contexto, se utiliza una definición de par ordenado como un tipo particular de conjunto.

La definición conjuntista más habitual, debida a Kuratowski, es:

(a,b)=\{\{a\},\{a,b\}\}\!

Mediante el axioma de extensionalidad y el axioma del par puede demostrarse que este término define un conjunto, con la propiedad característica del par ordenado